ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ тетрагональнОЙ СТРУКТУРЫ
Немеребаев М. Н., Бекмуратов М. М., Орынбаев С. А., Актаев Е. К.,
Предположим, что для оболочек тетрагоналной структуры справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява о жестком нормальном элементе.
В соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява в законе Гука следует пренебречь напряжениями σγ по сравнению σα и σβ. Таким образом, в качестве основного элемента оболочки размаривать элемент срединой поверхности, нагруженный усилиями и моментами.
Рассмотрим задачу определения частоты свободных колебаний оболочек тетрагональной структуры из КМ. Исходную систему дифференциальных уравнений получим из уравнений классической теории для круговых цилиндрических оболочек с учетом инерционных сил, лишь в направлении нормального перемещения.
Уравнения равновесия согласно [5,17,36]:
(2.7)
Формулы, связывающие компоненты деформаций с компонентами перемещений [17].
(2.8)
.
Соотношение упругости [28]:
Nα = B11εα + B12εβMα = C11Xα + C12Xβ;
Nβ = B12εα + B22εβMβ = C12Xα + C22Xβ; (2.9)
Nαβ = B33γαβMαβ = C12Xαβ,
где выражение для жесткостей имеют вид:
(2.10)
Рассматриваем только спиральные ребра симметричной структуры пакета, где α – расстояние между осями стержней; l – длина стержней.
Уравнение неразрывности:
(2.11)
Поставляя значения компонентов деформации εα, εβ, γαβ, Xα, Xβ, Xαβ соответственно из (2.8) в соотношение упругости (2.9), получим выражения для внутренних сил и моментов, представленных с помощью перемещении u, v, w.
(2.12)
Подставляя значения моментов из (2.12) в последние два уравнения равновесия (2.7), получим для поперечных сил следующие выражения:
(2.13)
Подставляя значения внутренних сил Nα, Nβ, Nαβ и Qα, Qβ соответственно из (2.12) в первые три уравнения равновесия (2.7)
В такой постановке получили следующую систему уравнений равновесия в перемещениях:
L11(Bik)u + L12(Bik)v + L13(Bik)w = 0;
L21(Bik)u + L22(Bik)v + L23(Bik)w = 0; (2.14)
L31(Bik)u + L32(Bik)v + L33(Bik, Сik)w = 0,
где для линейных дифференциальных операторов имеем:
(2.15)
Уравнения (2.14) представляет собой соотношения технической теории цилиндрических оболочек тетрагональной структуры, записанные в перемещениях.
Уравнения технической теории цилиндрических оболочек тетрагональной структуры могут быть представлены в форме уравнений смешанного метода [38]:
(2.16)
где φ = φ(α, β) – |
искомая функция напряжений тождественно удовлетворяющая первым двум уравнениям равновесия (2.7) с учетом (2.16) третье управление (2.7)представим в виде: |
(2.17)
Решая соотношения упругости (2.9) относительно компонентов деформации εα, εβ, γαβ, получим:
εα = A11Nα + A12Nβ;
εβ = A22Nβ + A12Nα; (2.18)
γα,β = A66Nαβ,
где для коэффициентов, характеризующих упругие свойства оболочки имеем:
(2.19)
Подставляя полученные при этом (2.18) совместно с (2.8) в уравнение неразрывности (2.11), получим;
(2.20)
Из трех последних уравнений (2.7) и уравнения неразрывности(2.20) с учетом (2.13) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:
(2.21)
К системе уравнений (2.21) следует присоединить граничные условия, которые для шарнирно-опертой оболочки запишутся следующим образом:
при α = 0, α = L w = v = Mα = Nα = 0.
Решение системы (2.21) представим в форме [5.17]:
φ(α, β, t) = Fmn sin λ1α sin λ2β cos ωmnt;
w(α, β, t) = Фmn sin λ1α sin λ2β cos ωmnt, (2.22)
где Fmn, Фmn – некоторые постоянные
Легко заметить, что уравнения (2.22) полностью удовлетворяют граничными условиями.
Подставляя (2.22) в систему (2.21), получим однородную систему уравнений относительно Fmn и Фmn:
(2.23)
Приравнивая к нулю определить однородной системы уравнений (2.23), получим формулу для нахождения частот собственных колебаний оболочки тетрагональной структуры:
(2.24)
В качестве примера, рассмотрим оболочку по найденным экспериментальном данным частота ω = 395 Гц, соответствует параметрам волнообразования m = 1, n = 4. Параметры оболочки берутся такими же, как в эксперименте, т.е. φ = 15°; R = 10,3∙10–2 м; h = 2,5∙10–3 м; δ = 1,5∙10–3 м;
L = 17,5∙10–2 м, l = 4,75∙10–2 м.
Пользуясь вышеизложенной методикой, с помощью соотношения (2.24) получены следующие значения модуля упругости Е для материала оболочки: E = 3,5∙1010 H/м2.
Для определения эффективного модуля упругости и коэффициента Пуассона имеем [95]:
G = B33;
(2.25)
с учетом формул
(2.26)
B33 = E sin φ2 cos φ2.
После этого по назначению (2.25) вычислены упругие постоянные для угла φ = 15°, которые сведены в табл. 2.1.
Расчетные зависимости эффективного модуля упругости от угла φ показаны на рис. 2.2.
Таблица 2.1
n |
ω, Гц |
E11, н/м2 |
E22, н/м2 |
μ11 |
μ22 |
G12, н/м2 |
|
Для сплошных оболочек |
2 |
415 |
0,68 |
0,09 |
1,5∙109 |
||
3 |
350 |
||||||
4 |
395 |
||||||
5 |
450 |
||||||
6 |
497 |
||||||
Для сетчатых оболочек |
4 |
395 |
6,9∙108 |
3,6∙106 |
17,7 |
Рис. 2.1
Рис. 2.2