Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ тетрагональнОЙ СТРУКТУРЫ

Немеребаев М. Н., Бекмуратов М. М., Орынбаев С. А., Актаев Е. К.,

2.2. Основные соотношения теории оболочек тетрагональной структуры (ОТС)

Предположим, что для оболочек тетрагоналной структуры справедливы гипотезы Кирхгофа-Лява о жестком нормальном элементе.

В соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява в законе Гука следует пренебречь напряжениями σγ по сравнению σα и σβ. Таким образом, в качестве основного элемента оболочки размаривать элемент срединой поверхности, нагруженный усилиями и моментами.

Рассмотрим задачу определения частоты свободных колебаний оболочек тетрагональной структуры из КМ. Исходную систему дифференциальных уравнений получим из уравнений классической теории для круговых цилиндрических оболочек с учетом инерционных сил, лишь в направлении нормального перемещения.

Уравнения равновесия согласно [5,17,36]:

026.wmf 027.wmf 028.wmf

029.wmf 030.wmf (2.7)

Формулы, связывающие компоненты деформаций с компонентами перемещений [17].

031.wmf 032.wmf 033.wmf (2.8)

034.wmf 035.wmf 036.wmf.

Соотношение упругости [28]:

Nα = B11εα + B12εβMα = C11Xα + C12Xβ;

Nβ = B12εα + B22εβMβ = C12Xα + C22Xβ; (2.9)

Nαβ = B33γαβMαβ = C12Xαβ,

где выражение для жесткостей имеют вид:

037.wmf

038.wmf (2.10)

039.wmf

040.wmf 041.wmf

042.wmf 043.wmf

Рассматриваем только спиральные ребра симметричной структуры пакета, где α – расстояние между осями стержней; l – длина стержней.

Уравнение неразрывности:

044.wmf (2.11)

Поставляя значения компонентов деформации εα, εβ, γαβ, Xα, Xβ, Xαβ соответственно из (2.8) в соотношение упругости (2.9), получим выражения для внутренних сил и моментов, представленных с помощью перемещении u, v, w.

045.wmf

046.wmf

047.wmf

048.wmf (2.12)

049.wmf 050.wmf

Подставляя значения моментов из (2.12) в последние два уравнения равновесия (2.7), получим для поперечных сил следующие выражения:

051.wmf (2.13)

052.wmf

Подставляя значения внутренних сил Nα, Nβ, Nαβ и Qα, Qβ соответственно из (2.12) в первые три уравнения равновесия (2.7)

В такой постановке получили следующую систему уравнений равновесия в перемещениях:

L11(Bik)u + L12(Bik)v + L13(Bik)w = 0;

L21(Bik)u + L22(Bik)v + L23(Bik)w = 0; (2.14)

L31(Bik)u + L32(Bik)v + L33(Bik, Сik)w = 0,

где для линейных дифференциальных операторов имеем:

053.wmf

054.wmf 055.wmf (2.15)

056.wmf 057.wmf

058.wmf

Уравнения (2.14) представляет собой соотношения технической теории цилиндрических оболочек тетрагональной структуры, записанные в перемещениях.

Уравнения технической теории цилиндрических оболочек тетрагональной структуры могут быть представлены в форме уравнений смешанного метода [38]:

059.wmf 060.wmf 061.wmf (2.16)

где φ = φ(α, β) –

искомая функция напряжений тождественно удовлетворяющая первым двум уравнениям равновесия (2.7) с учетом (2.16) третье управление (2.7)представим в виде:

062.wmf (2.17)

Решая соотношения упругости (2.9) относительно компонентов деформации εα, εβ, γαβ, получим:

εα = A11Nα + A12Nβ;

εβ = A22Nβ + A12Nα; (2.18)

γα,β = A66Nαβ,

где для коэффициентов, характеризующих упругие свойства оболочки имеем:

063.wmf

064.wmf (2.19)

065.wmf 066.wmf

Подставляя полученные при этом (2.18) совместно с (2.8) в уравнение неразрывности (2.11), получим;

067.wmf (2.20)

Из трех последних уравнений (2.7) и уравнения неразрывности(2.20) с учетом (2.13) получим следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:

068.wmf

069.wmf (2.21)

070.wmf

К системе уравнений (2.21) следует присоединить граничные условия, которые для шарнирно-опертой оболочки запишутся следующим образом:

при α = 0, α = L w = v = Mα = Nα = 0.

Решение системы (2.21) представим в форме [5.17]:

φ(α, β, t) = Fmn sin λ1α sin λ2β cos ωmnt;

w(α, β, t) = Фmn sin λ1α sin λ2β cos ωmnt, (2.22)

где Fmn, Фmn – некоторые постоянные

071.wmf 072.wmf

Легко заметить, что уравнения (2.22) полностью удовлетворяют граничными условиями.

Подставляя (2.22) в систему (2.21), получим однородную систему уравнений относительно Fmn и Фmn:

073.wmf (2.23)

074.wmf

Приравнивая к нулю определить однородной системы уравнений (2.23), получим формулу для нахождения частот собственных колебаний оболочки тетрагональной структуры:

075.wmf (2.24)

В качестве примера, рассмотрим оболочку по найденным экспериментальном данным частота ω = 395 Гц, соответствует параметрам волнообразования m = 1, n = 4. Параметры оболочки берутся такими же, как в эксперименте, т.е. φ = 15°; R = 10,3∙10–2 м; h = 2,5∙10–3 м; δ = 1,5∙10–3 м;
L = 17,5∙10–2 м, l = 4,75∙10–2 м.

Пользуясь вышеизложенной методикой, с помощью соотношения (2.24) получены следующие значения модуля упругости Е для материала оболочки: E = 3,5∙1010 H/м2.

Для определения эффективного модуля упругости и коэффициента Пуассона имеем [95]:

076.wmf 077.wmf G = B33; 078.wmf 079.wmf (2.25)

с учетом формул

080.wmf

081.wmf (2.26)

082.wmf

B33 = E sin φ2 cos φ2.

После этого по назначению (2.25) вычислены упругие постоянные для угла φ = 15°, которые сведены в табл. 2.1.

Расчетные зависимости эффективного модуля упругости от угла φ показаны на рис. 2.2.

Таблица 2.1

 

n

ω, Гц

E11, н/м2

E22, н/м2

μ11

μ22

G12, н/м2

Для сплошных оболочек

2

415

   

0,68

0,09

1,5∙109

3

350

4

395

5

450

6

497

Для сетчатых оболочек

4

395

6,9∙108

3,6∙106

 

17,7

 

2_1.tif

Рис. 2.1

2_2.wmf

Рис. 2.2


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074