Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ тетрагональнОЙ СТРУКТУРЫ

Немеребаев М. Н., Бекмуратов М. М., Орынбаев С. А., Актаев Е. К.,

4.1. Вывод исходных системы уравнений

Рассмотрим конструкцию, выполненную в виде сетчатой оболочки из композиционного материала. Ребра, образующие сетчатую оболочку, представляют собой однонаправленный композиционный материал, состоящий из большого числа, волокон, соединенных связующим. Однонаправленный композитный материал характеризуется модулем упругости Е и модулем сдвига G. Ребра прямоугольного сечения характеризуется толщиной δ и высотой h (рис. 4.1).

4_1.tif

Рис. 4.1

Срединную поверхность оболочки отнесем к системе координат α, β, γ причем оси α и β являются криволинейными координатами, а ось γ направлена по нормами к этой поверхности.

Будем считать, что ребра сетчатой конструкции располагаются под углом φ к оси λ. При этом угол φ может принимать различные значения от 0 до 90°.

Выделим элемент і-го ребра, наклоненного к оси λ под углом φі и отнесем его к декартовой системе координат α, β, γ.

Оси β и γ являются главными центральными осями инерции поперечного сечения ребра. В ребре действует шесть внутренних силовых факторов: осевые усилия 368.wmf, перерезывающие усилия 369.wmf и 370.wmf, изгибающие моменты в плоскости 371.wmf, в плоскости 372.wmf и крутящие моменты 373.wmf.

Перейдем от системы координат α1, β1, γ к системе координат α, β, γ, провернутой относительной оси α на угол φі. Заменим рассматриваемую оболочку условно однородной. При этом будем считать, его усилия и момент распределены по сечению непрерывно. Следовательно, для погонных усилий и моментов, возникающих в продольных сечениях оболочки, в координатах α, β, γ получим следующие соотношения [29]:

374.wmf

375.wmf

376.wmf (4.1)

377.wmf

378.wmf

379.wmf

380.wmf

381.wmf

382.wmf 383.wmf

384.wmf 385.wmf

4_2.tif

Рис. 4.2

При положительном направлении сил и моментов, действующих в оболочке (как показана на рис. 4.2), уравнения равновесия для выделенного элемента оболочки в системе координат α, β, γ запишутся в следующей форме [17]:

386.wmf

387.wmf

388.wmf

389.wmf (4.2)

390.wmf

391.wmf

где A и B –

коэффициенты первой квадратичной формы серединной поверхности;

R1, R2 –

главные радиусы кривизны.

Принятая система уравнений равновесия (4.2) отличается от классической наличием моментов Mαγ и Mβγ, действующих в плоскостях касательных к срединной поверхности оболочки и представляет собой вариант теории оболочек, соответствующий моментной теории [112].

Зависимость усилий и моментов от деформации определяется смешанным вариационным методом [121].

Энергия деформации, приходящейся на единицу площади срединной поверхности через усилия и моменты в ребрах имеет вид:

392.wmf (4.3)

Здесь Fi и  393.wmf 394.wmf –

площадь и моменты инерции относительно осей;

395.wmf –

полярный момент инерции поперечного сечения i-го ребра сетчатой оболочки;

Ei, Gi –

модули упругости однонаправленного композитного материала.

Теперь, согласно [121] можно получить соотношения между внутренними усилиями и моментами, действующими в ребрах оболочки, с одной стороны и средними перемещениями u, v,w, а также средними углами поворота Ψα, Ψβ, Ψαβ с другой. Для этого следует минимизировать выражение для энергии деформации (4.3) с учетом уравнений равновесия (4.2) и статических соотношений (4.1)

Рассматривая ктнематические переменные u, J, w, Ψa, Ψb, Ψαb, εa, εb, γαb, γβa, χa, χb, χαb, θa, θb, ωa, как множители Лагранжа, запишем функционал в виде:

396.wmf (4.4)

Здесь величины, обозначенные штрихами [*], соответствуют правым частям статических соотношений (4.1).

Таким образом, может быть поставлена задача о минимизации функционала (4.4), имеющего следующий вид:

397.wmf (4.5)

Условием экстремума функционала (4.5) является равенство нулю его первой вариации:

δJ = 0 (4.6)

исходя из этого, запишем систему уравнений Остроградского:

398.wmf (4.7)

где 399.wmf 400.wmf

Граничные условия:

uδNα = 0; ϑδNβ = 0; uδNβα = 0. (4.8)

Раскрывая (4.7), получим соотношения упругости, связывающие усилия и моменты в ребрах со множителями Лагранжа:

401.wmf

402.wmf

403.wmf (4.9)

404.wmf

405.wmf

406.wmf

Рассматриваемая конструкция из композиционного материала является симметричной структурой, для которой первая квадратная форма срединной поверхности является постоянной. В этом случае геометрические соотношения множителей Лангранжа преобразуется в следующие выражения:

407.wmf 408.wmf

409.wmf 410.wmf

411.wmf 412.wmf (4.10)

413.wmf 414.wmf

415.wmf 416.wmf

417.wmf 418.wmf

Из (4.4) и (4.10) следует, что множители Ланрганжа u,v,w представляют собой перемещения срединой поверхности оболочки по осям координат α, β, Ψα, Ψβ, Ψαβ, Ψβα – углы поворота относительно оси β, α и γ; εα, εβ, γαβ, γβα – относительные линейные и сдвиговые деформации срединной поверхности; ϰα, ϰβ, ϰαβ, ϰβα – изменения кривизны; θα и θβ – деформация поперечного сдвига; ωα, ωβ – углы поворота элемента оболочки относительно оси γ.

Поставляя выражения (4.9) в (4.1), получим уравнения для усилий и моментов в сетчатой оболочке через некоторые обобщенны жесткости ребра и соответствующие деформации:

419.wmf

420.wmf

421.wmf

422.wmf

423.wmf

424.wmf

425.wmf

426.wmf

427.wmf

428.wmf

429.wmf

430.wmf (4.11)

431.wmf

432.wmf

433.wmf

434.wmf

435.wmf

436.wmf 437.wmf

438.wmf 439.wmf

440.wmf 441.wmf

442.wmf 443.wmf

444.wmf

445.wmf

446.wmf

447.wmf

448.wmf

449.wmf

450.wmf

451.wmf

452.wmf

453.wmf

454.wmf

455.wmf

456.wmf

Система уравнений равновесия в усилиях также упрощается и имеет вид:

457.wmf

458.wmf

459.wmf (4.12)

460.wmf

461.wmf

462.wmf

Подставляя выражения [4.12], получаем систему дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях:

463.wmf (4.13)

i = 1, 2, 3, ..., 6.

Здесь для линейных дифференциальных операторов Lіj имеем:

464.wmf 465.wmf

466.wmf

467.wmf

468.wmf

469.wmf

470.wmf

471.wmf

472.wmf

473.wmf

474.wmf

475.wmf

476.wmf

477.wmf

478.wmf

479.wmf

480.wmf

481.wmf

482.wmf

483.wmf

484.wmf

485.wmf (4.14)

486.wmf

487.wmf

488.wmf

489.wmf

490.wmf

491.wmf

492.wmf

493.wmf

494.wmf 495.wmf

496.wmf

497.wmf

498.wmf

499.wmf

P1 = X; P2 = Y; P3 = –Z.

Полученная система уравнений (4.13) в общем случае не обладает симметрией. Однако в некоторых частных случаях, например, для рассматриваемой сетчатой оболочки, она становится симметричной относительно главной диагонали.

В результате решения системы из шести дифференциальных уравнений (4.13) могут быть определены шесть неизвестных: три перемещения u(αβ), v(αβ), w(αβ) и три угла поворота Ψα, Ψβ, Ψαβ.

С помощью полученных величин с учетом соотношений (4.9) и (4.11) могут быть определены усилия и моменты в ребрах. По найденным усилиям и моментам определяются напряжения в отдельных частях рассматриваемой конструкции, которые затем сравниваются с допускаемыми. Это дает возможность судить о работоспособности каждого элемента конструкции.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074