ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ тетрагональнОЙ СТРУКТУРЫ
Немеребаев М. Н., Бекмуратов М. М., Орынбаев С. А., Актаев Е. К.,
Рассмотрим конструкцию, выполненную в виде сетчатой оболочки из композиционного материала. Ребра, образующие сетчатую оболочку, представляют собой однонаправленный композиционный материал, состоящий из большого числа, волокон, соединенных связующим. Однонаправленный композитный материал характеризуется модулем упругости Е и модулем сдвига G. Ребра прямоугольного сечения характеризуется толщиной δ и высотой h (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Срединную поверхность оболочки отнесем к системе координат α, β, γ причем оси α и β являются криволинейными координатами, а ось γ направлена по нормами к этой поверхности.
Будем считать, что ребра сетчатой конструкции располагаются под углом φ к оси λ. При этом угол φ может принимать различные значения от 0 до 90°.
Выделим элемент і-го ребра, наклоненного к оси λ под углом φі и отнесем его к декартовой системе координат α, β, γ.
Оси β и γ являются главными центральными осями инерции поперечного сечения ребра. В ребре действует шесть внутренних силовых факторов: осевые усилия , перерезывающие усилия
и
, изгибающие моменты в плоскости
, в плоскости
и крутящие моменты
.
Перейдем от системы координат α1, β1, γ к системе координат α, β, γ, провернутой относительной оси α на угол φі. Заменим рассматриваемую оболочку условно однородной. При этом будем считать, его усилия и момент распределены по сечению непрерывно. Следовательно, для погонных усилий и моментов, возникающих в продольных сечениях оболочки, в координатах α, β, γ получим следующие соотношения [29]:
(4.1)
Рис. 4.2
При положительном направлении сил и моментов, действующих в оболочке (как показана на рис. 4.2), уравнения равновесия для выделенного элемента оболочки в системе координат α, β, γ запишутся в следующей форме [17]:
(4.2)
где A и B – |
коэффициенты первой квадратичной формы серединной поверхности; |
R1, R2 – |
главные радиусы кривизны. |
Принятая система уравнений равновесия (4.2) отличается от классической наличием моментов Mαγ и Mβγ, действующих в плоскостях касательных к срединной поверхности оболочки и представляет собой вариант теории оболочек, соответствующий моментной теории [112].
Зависимость усилий и моментов от деформации определяется смешанным вариационным методом [121].
Энергия деформации, приходящейся на единицу площади срединной поверхности через усилия и моменты в ребрах имеет вид:
(4.3)
Здесь Fi и |
площадь и моменты инерции относительно осей; |
|
полярный момент инерции поперечного сечения i-го ребра сетчатой оболочки; |
Ei, Gi – |
модули упругости однонаправленного композитного материала. |
Теперь, согласно [121] можно получить соотношения между внутренними усилиями и моментами, действующими в ребрах оболочки, с одной стороны и средними перемещениями u, v,w, а также средними углами поворота Ψα, Ψβ, Ψαβ с другой. Для этого следует минимизировать выражение для энергии деформации (4.3) с учетом уравнений равновесия (4.2) и статических соотношений (4.1)
Рассматривая ктнематические переменные u, J, w, Ψa, Ψb, Ψαb, εa, εb, γαb, γβa, χa, χb, χαb, θa, θb, ωa, как множители Лагранжа, запишем функционал в виде:
(4.4)
Здесь величины, обозначенные штрихами [*], соответствуют правым частям статических соотношений (4.1).
Таким образом, может быть поставлена задача о минимизации функционала (4.4), имеющего следующий вид:
(4.5)
Условием экстремума функционала (4.5) является равенство нулю его первой вариации:
δJ = 0 (4.6)
исходя из этого, запишем систему уравнений Остроградского:
(4.7)
где
Граничные условия:
uδNα = 0; ϑδNβ = 0; uδNβα = 0. (4.8)
Раскрывая (4.7), получим соотношения упругости, связывающие усилия и моменты в ребрах со множителями Лагранжа:
(4.9)
Рассматриваемая конструкция из композиционного материала является симметричной структурой, для которой первая квадратная форма срединной поверхности является постоянной. В этом случае геометрические соотношения множителей Лангранжа преобразуется в следующие выражения:
(4.10)
Из (4.4) и (4.10) следует, что множители Ланрганжа u,v,w представляют собой перемещения срединой поверхности оболочки по осям координат α, β, Ψα, Ψβ, Ψαβ, Ψβα – углы поворота относительно оси β, α и γ; εα, εβ, γαβ, γβα – относительные линейные и сдвиговые деформации срединной поверхности; ϰα, ϰβ, ϰαβ, ϰβα – изменения кривизны; θα и θβ – деформация поперечного сдвига; ωα, ωβ – углы поворота элемента оболочки относительно оси γ.
Поставляя выражения (4.9) в (4.1), получим уравнения для усилий и моментов в сетчатой оболочке через некоторые обобщенны жесткости ребра и соответствующие деформации:
(4.11)
Система уравнений равновесия в усилиях также упрощается и имеет вид:
(4.12)
Подставляя выражения [4.12], получаем систему дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях:
(4.13)
i = 1, 2, 3, ..., 6.
Здесь для линейных дифференциальных операторов Lіj имеем:
(4.14)
P1 = X; P2 = Y; P3 = –Z.
Полученная система уравнений (4.13) в общем случае не обладает симметрией. Однако в некоторых частных случаях, например, для рассматриваемой сетчатой оболочки, она становится симметричной относительно главной диагонали.
В результате решения системы из шести дифференциальных уравнений (4.13) могут быть определены шесть неизвестных: три перемещения u(αβ), v(αβ), w(αβ) и три угла поворота Ψα, Ψβ, Ψαβ.
С помощью полученных величин с учетом соотношений (4.9) и (4.11) могут быть определены усилия и моменты в ребрах. По найденным усилиям и моментам определяются напряжения в отдельных частях рассматриваемой конструкции, которые затем сравниваются с допускаемыми. Это дает возможность судить о работоспособности каждого элемента конструкции.