Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ тетрагональнОЙ СТРУКТУРЫ

Немеребаев М. Н., Бекмуратов М. М., Орынбаев С. А., Актаев Е. К.,

4.2. Колебания цилиндрической сетчатой оболочки из композиционного материала

Рассмотрим конструкции, выполненную в виде круговой цилиндрической сетчатой оболочки. Несущаю часть рассматриваемой конструкции представляет собой сетчатую структуру из композиционного материала, выполненную в виде спиральных ребер, соединенных между собой на опорных шпангоутах. Срединная поверхность ее отнесена к системе координат α, β, γ. Спиральные ребра расположены под углом ±φ к оси αλ (см. рис. 4.3).

Дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях для рассматриваемой сетчатой цилиндрической оболочки могут быть получены на основе соотношений (4.2).

4_3.tif

Рис. 4.3

В выбранной системе координат α, β, γ коэффициенты А и В, главные радиусы кривизны R1 и R2 координатной поверхности цилиндрической оболочки определяются [5]:

A = B = 1; 501.wmf (4.15)

где R – радиус оболочки.

В этом случае уравнения равновесия в усилиях можно записать в следующей форме [112]:

502.wmf

503.wmf

505.wmf (4.16)

506.wmf

507.wmf

508.wmf

Геометрические соотношения, связывающие компоненты деформации (4.10), будут иметь вид:

509.wmf 510.wmf

511.wmf 512.wmf (4.17)

513.wmf 514.wmf 515.wmf

516.wmf 517.wmf

518.wmf 519.wmf 520.wmf

Соотношения для усилий и моментов, действующих в рассматриваемой оболочке выражаются:

521.wmf 522.wmf

523.wmf 525.wmf (4.18)

526.wmf 527.wmf

528.wmf 529.wmf 530.wmf

531.wmf 532.wmf

В выражениях (4.18) введены обобщенные жесткости сетчатой оболочки aij, cij, bij, dij, fij, kij зависящие от угла φ, от расстояния между осями ребер одного семейства аі и соответствующих жесткостей ребер при растяжении и сжатии (Fі Fс), жесткостей при сдвиге тангенциальной и нормальной плоскостях ребра GFci, жескостей при изгибе в этих же плоскостях (ЕJyi, EJzc) и жескости при кручении (GJρc)

A = πr2.

Обобщенные жескости сетчатой оболочки, входящие в выражения (4.18) имеют вид:

533.wmf 534.wmf 535.wmf

536.wmf

537.wmf (4.19)

538.wmf

539.wmf

540.wmf 541.wmf 542.wmf

543.wmf 544.wmf 545.wmf

546.wmf 547.wmf

548.wmf 549.wmf

Тогда системы дифференциальных уравнений равновесия, рассматриваемой цилиндрической сетчатой оболочки в перемещениях имеет вид:

550.wmf (4.20)

где i = 1, 2, 3, ..., 6; j = 1, 2, 3, ..., 6.

где для линейных дифференциальных операторов Lij имеем:

551.wmf 552.wmf

553.wmf 554.wmf 555.wmf 556.wmf

557.wmf 558.wmf

559.wmf 560.wmf 561.wmf

562.wmf 563.wmf 564.wmf

565.wmf 566.wmf 567.wmf

568.wmf 569.wmf 570.wmf 571.wmf

572.wmf (4.21)

573.wmf

574.wmf 575.wmf 576.wmf 577.wmf

578.wmf

579.wmf 580.wmf 581.wmf

582.wmf; 583.wmf

584.wmf 585.wmf

Как известно, уравнения движения, описывающие колебания оболочки, могут быть получены из уравнений равновесия, путем замены грузовых членов Х, Y, Z соответствующими инерционными силами. В частности, для рассматриваемой сетчатой оболочки из КМ представим их в виде:

586.wmf 587.wmf (4.22)

588.wmf

где ρ – плотность материала оболочки.

Для рассматриваемой оболочки с шарнирным опиранием по торцам примем решение системы (4.20) в виде двойных тригонометрических рядов [17]:

589.wmf

590.wmf

591.wmf (4.23)

592.wmf

593.wmf

594.wmf

где 595.wmf 596.wmf

ω –

частота колебаний;

Аmn, Вmn, Сmn, Dmn, Emn, Fmn –

интегральные константы m и n широт и продольных длин волн.

Подставляя решения (4.23) и (4.20) получим систему из шести алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных Аmn, Вmn, Сmn, Dmn, Emn, Fmn.

Видно, что уравнение (4.23) удовлетворяет следующим граничным условиям:

α = 0; α = L; ψβ = 0; Nαβ = 0; w = 0; Mα = 0; Nα = 0.

Существование нетривиальных решений этой системы требуют, чтобы определитель ее был равен нулю, т.е. получим:

597.wmf (4.24)

где коэффициенты Aij имеют вид:

598.wmf

599.wmf

600.wmf

601.wmf 602.wmf

603.wmf

604.wmf

605.wmf

606.wmf 607.wmf

608.wmf 609.wmf

610.wmf 611.wmf

612.wmf

613.wmf 614.wmf

615.wmf 616.wmf

617.wmf

618.wmf

619.wmf 620.wmf

621.wmf 622.wmf 623.wmf

624.wmf

625.wmf (4.25)

626.wmf 627.wmf

628.wmf 629.wmf

630.wmf 631.wmf

632.wmf

Раскладывая определитель и группируя в нем члены, запишем уравнение для определения частоты собственных колебаний сетчатой цилиндрической оболочки:

633.wmf (4.26)

где K1, K2, K3 – коэффициенты, определяемые следующими выражениями:

634.wmf

635.wmf (4.27)

636.wmf

Здесь через L и Li обозначены следующие определители:

638.wmf (4.28)

639.wmf 640.wmf

641.wmf 642.wmf

643.wmf 644.wmf (4.29)

645.wmf

С целью исследования возможных упрощений частотного уравнения (4.26) и для получения конкретных численных результатов проведем параметрический анализ решений.

Оценим влияние угла φ и геометрических параметров оболочки на частоты собственных колебаний. Для этого рассмотрим изгибные колебаний. В этом случае в исходной системе уравнений движения (4.20) описывающих колебательных процесс оболочки, можно положить χ = y = 0. Тогда уравнение для определения частоты колебаний оболочки запишется:

646.wmf (4.30)

Изменения частоты от угла и от параметров оболочки показаны на рис. 4.4–4.6.

4_4.wmf

Рис. 4.4

На рис. 4.4.–4.6. приведены зависимости безразмерного параметра частоты от угла φ для различных значений параметров безразмерных длины и толщины оболочки. Пунктиром на рис. 4.4–4.6. показано решение, полученное по алгоритму, разработанному в главе III. Как видно из этих рисунков, в области малых углов φ обе типа решения практический совпадают. Начиная с углов 647.wmf решение, полученное на основе
дискретной модели, существенно отличается от решения, полученного по континуальной модели. Это объясняется тем, что при рассмотрении дискретной модели, вводилось допущение о малом угле φ.

4_5.wmf

Рис. 4.5

4_6.wmf

Рис. 4.6


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074