ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ тетрагональнОЙ СТРУКТУРЫ
Немеребаев М. Н., Бекмуратов М. М., Орынбаев С. А., Актаев Е. К.,
Расчет сетчатых и подкрепленных оболочек как систем, имеющих сложную структуру, вызывает вычислительные и принципиальные трудности. Их разрешение на основе уточнения классической теории оболочек с применением новых модельных представлений и подходов, совершенствования методов и методик расчета является одной из самых актуальных проблем механики оболочных конструкций и представляет несомненный прак-
тический интерес.
Рассмотрим круговую сетчатую цилиндрическую оболочку бесконечной длины, закрытую непроникаемой плёнкой и обтекаемую сверхзвуковым потоком газа с невозмущённой скоростью u, направленной вдоль образующих оболочек, т.е. по координа-
там α (рис. 4.10)
Рис. 4.10. Цилиндрическая сетчатая оболочка из КМ
Предполагая, что давление газа Р на обтекаемую поверхность оболочки через плёнку может быть вычислено при помощи приближенной формулы поршневой теории [36 ]
(4.70)
где P0 – |
давление невозмущённого потока газа; |
ϑ – |
нормальная составляющая скорости потока газа, обтекающего поверхность оболочки; |
c0 – |
скорость звука в невозмущенном газе; |
ﬡ – |
показатель политропы. |
Следуя работам [39, 40], будем считать, что u ≤ c0 и, разложив уравнение (4.70) в ряд по формуле бином Ньютона для малых возмущений, в первом приближении c учетом будем иметь:
(4.71)
Рассмотрим линеаризованное течение газа вдоль оболочки, по которой распространяются упругие волны. В этом случае:
(4.72)
и следовательно, по формуле избыточного давления
(4.73)
Кроме того, примем во внимание линейное демпфирование ε.
Тогда получим следующие динамические уравнения для цилиндрической сетчатой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа а направлении α.
(4.74)
где a – расстояние между осями стержней,и согласна (4.19 ) принимаем:
(4.75)
(4.76)
Решение уравнения (4.74) ищем в виде волн, распространяющихся по поверхности оболочки:
(4.77)
где Ф0 – |
некоторая комплексная постоянная; |
ω – |
частота колебаний оболочки; |
– |
волновое число; |
λ – |
целое число волн в окружности поперечного сечения оболочки; |
n – |
длина полуволны в направлении образующей оболочки. |
Подставляя значения (8) в исходное уравнение (4.74), придём к следующему характерному уравнению:
(4.78)
где
А для квадрата частоты собственных поперечных колебаний оболочки имеем:
(4.79)
Здесь принято:
(4.80)
Если мнимая часть частоты колебаний отрицательна (Imω < 0), то движение оболочки устойчиво [5, 21, 40].
Если же мнимая часть колебаний (Imω > 0) положительная, то невозмущённое движение устойчиво, лишь по отношению к малым возмущениям.
Таким образом, из условия Imω ≥ 0, для скоростей невозмущённого потока газа, при некотором невозмущенное движение оболочки устойчиво, получим неравенство:
(4.81)
где является фазовой скоростью распространения упругих волн в оболочке. Тогда:
(4.82)
Второй член последнего уравнения представляет собой конструктивное демпфирование.
Из неравенства (4.81) для критической скорости получим
(4.83)
Как видно из (4.75), коэффициенты упругости Cik и Bik зависят от угла φ.
В силу этого, из (4.81) и (4.82) следует, что критическая скорость невозмущенного потока зависит от распространения стержней в теле оболочки.
Если же устойчивость теряется по несимметричной форме, то учитывая, что n2 мало по сравнению m2 = kR, членами можно пренебречь.
Тогда критическая скорость, принимающая минимальное значение в близи m и n, удовлетворяет уравнение
C11m2A22m2 – R2A22m = 0. (4.84)
В этом случае для критической скорости получим следующую формулу:
(4.85)
Однако, наибольший интерес представляют значения аргументов k и n, вблизи которых критическая скорость принимает минимальное значение.
Рассмотрим случай, при котором имеет место симметрическая форма потери устойчивости (n = 0) и критическая скорость принимает минимальное значение при В этом случае для скорости получим:
(4.86)
Для большей наглядности представим зависимость критической скорости от угла φ графически. Для этого преобразуем выражение (4.86) с учётом (4.84) и (4.74), (4.76), считая ε = 0
(4.87)
Рис. 4.11. Зависимость критической скорости от угла φ
Результат расчета приведен на рис. 4.11. Как видно из рисунка критическая скорость флаттера может меняться зависимости от угла φ