Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПРИЁМ И ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ОТ СЛОЖНЫХ ЦЕЛЕЙ

Доросинский Л. Г., Трухин М. П.,

6.1. Синтез оптимального алгоритма обнаружения ПРЦ при наличии в объеме разрешения не более одного элемента

В параграфе на основе математической модели отраженного сигнала, введенной в первой главе, выполняется статистический синтез оптимальных алгоритмов обнаружения групповой ПРЦ для двух случаев межпериодной связи радиолокационных параметров – полной коррелированности и полной независимости. Предлагаются способы устранения априорной неопределенности, основанные на принципах адаптивного подхода.

Пусть выполнено условие попадания не более одного элемента ПРЦ в любой объем разрешения. Ограничимся вначале синтезом алгоритма обнаружения для данной линейки временных задержек (Ω = 0). Независимость принятых сигналов в любом объеме разрешения позволяет естественным образом расширить проведенный далее синтез на пространство параметров, дополненное другими выводами радиолокационных измерений.

Максимальное число обнаруживаемых элементов Mмакс ограниченное количеством L интервалов разрешения по дальности в области наблюдения. Число возможных расположений наблюдаемого количества M ≤ Mмакс элементов среди интервалов равно числу сочетаний из L по M, поэтому общее выражение (5.28) перепишется в виде:

(6.1)

В дальнейшем предполагается, что случайное число элементов за время наблюдения не изменяется.

Оптимальная процедура принятия решения о наличии или отсутствии ПРЦ состоит в сравнении с порогом усредненного отношения правдоподобия.

(6.2)

вычисляемого по всем существенным и несущественным параметрам отношения правдоподобия, записанного в предположении, что параметры фиксированы [5].

Для сигналов вида

(6.3)

где n(t) – белый шум, с учетом обоснованного выше предположения о статистической независимости флуктуаций элементов ПРЦ отношение правдоподобия при фиксированном положении известного числа M имеет вид:

(6.4)

где  – задержка сигнала, отраженного от i-го элемента в k-м периоде.

После подстановки выражений (1.49), (1.50) и (6.4) в (6.2) с учетом (6.1) получим:

(6.5)

Далее предполагаем, что не зависит от , т. е.

(6.6)

Указанное предположение означает, что элементы в группе сохраняют взаимное положение в течение всего времени наблюдения. Такая ПРЦ называется дружно движущейся. Кроме того, будем считать положение задержки τi внутри интервала разрешения независимым от того, как расположены задержки других элементов ПРЦ в своих интервалах разрешения:

(6.7)

При фиксированных величинах и  область определения i-го сомножителя в выражении (6.7) представляет собой интервал . Тогда

(6.8)

Выражение (6.8) справедливо вследствие независимости принятых сигналов в соседних интервалах разрешения.

Если за время наблюдения (длительность пачки) дальность до ПРЦ не меняется ( ), то выражение (6.5) существенно упрощается:

(6.9)

При записи формулы (6.9) использовано равенство:

(6.10)

Полученный оптимальный алгоритм даже при малых L и M чрезвычайно сложен, причем наиболее громоздкой операцией является перебор всех сочетаний с последующим суммированием соответствующих значений внутреннего интеграла с весом, определяемым вероятностью q-го сочетания.

Предположим, что вероятности каждого q-го сочетания одинаковы. Тогда алгоритм (6.9) станет более простым:

(6.11)

Если дальность до характерной точки ПРЦ известна, т. е.

(6.12)

то оптимальный алгоритм обнаружения примет вид:

(6.13)

Впервые алгоритм (6.13) для частного случая был синтезирован в [3]. Структурная схема алгоритма (6.13) приведена на рис. 6.1. Она содержит Mмакс каналов, сумматоров и экспонирующих устройств. В i-м канале имеется сумматоров, экспонирующих устройств. На входы каждого из сумматоров сигналы поступают в виде одной из комбинаций, которые могут иметь M сигналов среди L интервалов разрешения. При Mмакс ≥ 8 полученная расчётная схема нереализуема даже на специализированных ЭЦВМ. Она требует большой памяти и не может работать в реальном масштабе времени.

Определим вид оптимального алгоритма обнаружения ПРЦ при условии, что каждый из элементов с вероятностью Pi, , может попасть в i-й интервал разрешения. Вероятности Pi могут быть определены, например, с помощью выражения (5.14). Для некоторого M ≤ Mмакс вероятности в (6.9) в этом случае равны

(6.14)

где нормирующий коэффициент

{ε} = {1 ≤ l1 ≤ … ≤ lM ≤ L}

Очевидно, при Pi = 1/L, вероятность отдельной комбинации Подставив (6.12) и (6.14) в выражение (6.9), получим оптимальный алгоритм обнаружения дружно движущийся ПРЦ в более общем виде, чем выражение (6.13):

(6.1)

где w(M) = P(M)/CM.

Структура оптимального алгоритма (6.15) по сравнению со структурой алгоритма (6.13) практически не изменилась. Здесь добавились лишь весовые множители у коэффициентов правдоподобия Число таких умножителей равно числу интервалов разрешения.

Предположим далее, что элементы ПРЦ расположены среди интервалов разрешения независимо от периода к периоду, т. е.

(6.16)

Пространственно-распределённую цель с подобными свойствами называются хаотично движущейся. Подставив равенство (6.16) в выражение (6.5), проделав преобразования, аналогичные цепочке соотношений (6.7)–(6.9), и прологарифмировав окончательное выражение, получим оптимальный алгоритм обнаружения ПРЦ с независимым межпериодным расположением элементов

(6.17)

Рис. 6.1. Структурная схема оптимального алгоритма обнаружения дружно движущейся ПРЦ с разрешаемыми элементами

Структурная схема оптимального алгоритма (6.17) представлена на рис. 6.2. По количественному составу и сложности она сравнима со структурной схемой алгоритма (6.13). Однако решение о наличии или отсутствии цели в этом случае может выдаваться после приема сигналов от всей линейки дальности не только за время наблюдения, но и в каждом периоде повторения. Это является следствием межпериодной независимости расположения элементов ПРЦ среди интервалов разрешения.

Рис. 6.2. Структурная схема оптимального алгоритма обнаружения хаотично движущейся ПБЦ с разрешаемыми элементами

Наряду с обнаружением практически всегда встает задача измерения параметров обнаруженного объекта. Большой интерес в этом смысле представляет задача одновременного обнаружения и оценивания. Синтезированные выше оптимальные алгоритмы обнаружения позволяют выделить в них оптимальный алгоритм оценки числа элементов ПРЦ. Этот алгоритм изображен на рис. 6.3 виде двух блоков: блока получения апостериорного распределения Pps(M) и блока оценки числа элементов. Информация на первый блок поступает с выхода умножителей в виде сигналов rMk, . Апостериорная функция распределения числа элементов Pps,k(M) после обработки сигналов k-го периода находится нормировкой величин rMk:

(6.18)

Апостериорное распределение k-го периода является априорным распределением для следующего (k + 1)-го периода повторения. Во втором блоке на основании распределения находится оптимальная по некоторому критерию оценка числа элементов ПРЦ.

Рис. 6.3. Укрупненная схема одновременного обнаружения
и оценивания числа элементов ПБЦ

Наиболее часто используемой оценкой является апостериорное среднее Если принимается решение об обнаружении ПРЦ, то ключ открывается и оценка поступает на выход блока оценивания. Подобная связь между алгоритмами оценивания и обнаружения называется «сильной связью» и подробно исследована в [4]. Там же исследованы и другие виды связи между алгоритмами обнаружения и оценивания одиночной цели.

Вид нелинейной в общем случае операции – взятие логарифма отношения правдоподобия  – определяется функцией распределения
случайных величин y(τik). При нормальном шуме сигнал с релеевским законом флуктуаций амплитуды (5.23) требует операции возведения в квадрат [6]:

(6.19)

где A(y/τik) – амплитуда огибающей при задержке τik; g – отношение сигнал/шум по мощности на выходе линейной части приемника;  – мощность отраженного сигнала;  – дисперсия шума на входе приемника.

Логарифм отношения правдоподобия с райсовским распределением амплитуд (5.24) задает более сложную нелинейную операцию – взятие логарифма модифицированной функции Бесселя нулевого порядка [6]:

(6.20)

где ; величина уровня когерентной составляющей a′ определяется выражением (5.20), в котором  – мощность диффузной составляющей отраженного сигнала, . Отношение сигнал/шум для райсовской модели равно:

(6.21)

Логарифм отношения правдоподобия для сигнала с m-распределением (5.25) имеет вид:

(6.22)

где (6.23)

Подставив условие (6.16) в выражение (6.13) и вынеся постоянные множители за знак экспоненты, получим оптимальный алгоритм обнаружения дружно движущейся ПРЦ с релеевским распределение амплитуд

(6.24)

где  – весовой коэффициент M-го канала;  – нормированная амплитуда.

Введём обозначение результата накопления принятых за время наблюдения сигналов и представим алгоритм (6.24) в более компактной записи:

(6.25)

Рассмотрим следующую последовательность вычисления статистики обнаружения:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(6.26)

Непосредственным раскрытием этой рекуррентной последовательности доказывается, что при L = i + 1 величины, стоящие в левой части уравнений, равны соответствующим двойным суммам в отношении правдоподобия (6.25):

(6.27)

Следовательно, вместо чрезвычайно большого объема вычислений в алгоритме (6.25) получаем относительно простую рекуррентную последовательность (6.26). Такая расчётная схема, дополненная операцией взвешенного суммирования

(6.28)

называется приведенной схемой оптимального алгоритма. Следует подчеркнуть, что статистика обнаружения, найденная по приведенной схеме, точно равна статистике, полученной при прямом использовании выражения (6.25). Изменяется только расчётная процедура вычислений оптимальной статистики.

Приведенная схема оптимального алгоритма (6.28) изображена на рис. 6.4. Как и в структурной схеме, изображённой на рис. 6.1, здесь также производится поканальная обработка, однако количество операционных блоков существенно меньше: 2Mмакс сумматоров и умножителей. Эта схема также может быть дополнена блоком оценки числа элементов ПРЦ.

Рис. 6.4. Структура приведенной схемы оптимального алгоритма обнаружения
дружно движущейся ПРЦ

Наиболее простая приведенная схема оптимального алгоритма может быть получена для априорного распределения (5.7) при ρ0 = 0,5. Если в этом случае обозначить принимаемый сигнал

то оптимальная статистика обнаружения вычисляется по свернутой приведенной схеме (рис. 6.5).

Λ(y) = ZL, (6.29)

где (6.30)

Рис. 6.5. Структура свернутой приведенной схемы

Здесь принято Z0 = 0, Z–1 = 0. Очевидно, в свернутой приведенной схеме невозможно получить оценку числа элементов ПРЦ.

Априорное распределение (5.7) при L > 8 и ρ0 = 0,5 близко к симметричному биномиальному распределению. Число элементов ПРЦ нечасто может иметь подобное распределение. Кроме того, в свернутой схеме (6.29) предполагается, что Mмакс = L. Эти два обстоятельства существенно ограничивают диапазон априорных ситуаций, когда свернутая приведенная схема выполняет оптимальную обработку.

Чтобы несколько расширить этот диапазон, в рекуррентной последовательности (6.30) следует использовать другое уравнение: . Оно отличается от уравнения схемы (6.30) наличием коэффициента V. Частная приведенная схема этого алгоритма представлена на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Структура частной приведенной схемы

Она предназначена для обнаружения дружно движущейся ПРЦ при априорном распределении числа элементов:

(6.31)

Несложными преобразованиями распределение (6.31) сводится к усеченному биномиальному распределению (5.7) при ρ0 = V/(1 + V).

Таким образом, количество априорных ситуаций, при которых частная приведенная схема является оптимальной, существенно больше, чем у свернутой приведенной схемы. Однако требование Mмакс = L и невозможность измерения числа элементов здесь также не устранены – это общий недостаток свёрнутой и частной приведённых схем.

Структурные и приведенные схемы, естественно, останутся без изменения при использовании других, отличных от релеевских, моделей радиолокационных сигналов. Различие состоит лишь в соответствующем изменении нелинейных преобразований на входе расчётных процедур.

Вычисление оптимальной статистики обнаружения хаотично движущейся ПРЦ также сводится к приведенной схеме, которая показана на рис. 6.7. Как и в предыдущих оптимальных алгоритмах (6.17) и (6.25), при априорной параметрической неопределенности здесь должен быть введен блок оценки распределения числа элементов ПРЦ.

Рис. 6.7. Структура приведенной схемы вычисления оптимальной статистики обнаружения хаотично движущейся ПРЦ

Перейдем к обсуждению общего случая, когда отраженный от ПРЦ сигнал описывается двумя или большим числом параметров, например, временной задержкой τ и доплеровской частотой Ω и т. п. Вследствие независимости принятых сигналов от каждого из объемов разрешения оптимальный алгоритм в общем случае сводится к синтезированному выше алгоритму (6.15), в котором ρi означает вероятность наличия в i-м объеме разрешения одного элемента ПРЦ, т. е. вероятность того, что в составе ПРЦ имеется элемент с радиолокационными параметрами λi = [δτi, δΩi, …]T.

Таким образом, обнаружение ПРЦ при условии независимости принятых сигналов по всем радиолокационным координатам сводится к рассмотренному выше обнаружению по одной из координат (временной задержке) при соответствующем увеличении числа объемов разрешения L.

Необходимо отметить, что любой из синтезированных выше оптимальных алгоритмов требует априори известного отношения сигнал/шум g, а в райсовской и m-модели – дополнительно второго параметра. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения оптимальных алгоритмов. Вместо априори неизвестного значения отношения сигнал/шум можно использовать его оценку, если ввести в оптимальный алгоритм обнаружения блок оценки (рис. 6.8). В общем случае оценка определяется совместно с оценкой числа элементов путем решения уравнения максимального правдоподобия относительно параметров g и M. Указанный подход, основанный на использовании оценок априори неопределенных параметров, соответствует, по классификации [7], адаптивному подходу для правила решения по критерию Неймана-Пирсона. Отличие его от байесова адаптивного подхода несущественно, поскольку по структуре оба правила одинаковы, и разница проявляется в различных уровнях порога принятия решения.

Общность подхода, состоящая в приспособлении синтезированных правил решения, полученных для известных параметров, к имеющимся наблюдениям, состоит в том, что в обоих правилах используются максимально правдоподобные оценки априори неизвестных параметров. Поскольку оценка максимального правдоподобия является минимаксной оценкой при довольно слабых ограничениях на функцию потерь [7], то подстановка первой обеспечивает получение правила решения, которое дает равномерно наилучшее приближение к среднему риску абсолютно оптимального правила решения (как Байеса, так и Неймана-Пирсона) с известным значением параметра. Отыскание максимально правдоподобных оценок и  представляет самостоятельную и довольно трудную задачу, аналитического решения которой нам неизвестно. При использовании модели отраженного сигнала, отличной от релеевской (Райса или m-распределения), в структурной схеме на рис. 6.8. появляется новый блок, с помощью которого находится оценка второго параметра модели. В этом случае решение нелинейного уравнения максимального правдоподобия проводится уже по трем параметрам, что ещё более усложняет задачу.

Рис. 6.8. Структурная схема первичной обработки релеевских сигналов, адаптирующаяся к реальной радиолокационной ситуации

Пример решения уравнения максимального правдоподобия с помощью итерационного процесса отыскания оценок и  показан на рис. 6.9. На первом шаге для некоторого значения , выбираемого с учетом априорных сведений, определяется оценка . Она означает, что в соответствующей статистике из сумм наибольший вклад будет давать та, которая суммирует отсчеты только отраженных сигналов. В большинстве случаев эти сигналы соответствуют первым порядковым статистикам среди всех L отсчетов. Вследствие одинаковости отношений сигнал/шум для всех одиночных целей оценка при релеевском распределении равна величине Полученная апостериорная оценка является исходной для определения новой оценки числа элементов , по которой строится оценка , и так далее до тех пор, пока изменения оценок на соседних шагах не окажутся меньше заданных. На рис. 6.9 это условие выполняется на n-м шаге.

Рис. 6.9. Адаптивная схема первичной обработки релеевских сигналов,
использующая итерационный алгоритм оценивания

Решение о наличии ПРЦ производится по сигналу с блока окончания итерационного процесса. Если порог T превышен, то при «сильной связи» на выход измерителей через ключ проходят оценки отношения сигнал/шум и числа элементов. Описанный процесс решения будет давать оценки, асимптотически совпадающие с оценками максимального правдоподобия при увеличении отношения сигнал/шум.