Проведем упрощение оптимального алгоритма (6.15) при отношении сигнал/шум, стремящемся к нулю (g → 0), и релеевской модели отраженных сигналов. В этом случае экспоненту с достаточной степенью точности можно представить двумя первыми членами ряда Тейлора в окрестности точки g = 0:
(7.1)
где все обозначения те же, что были использованы в параграфе 5.1. Упростим это выражение, для чего исключим из него постоянное слагаемое, отнеся его в порог:
(7.2)
Двойная сумма содержит всего
слагаемых вида
и симметрична относительно каждого
. Следовательно, имеется равенство:
(7.3)
Подставив правую часть (7.1) в (7.2), получим
(7.4)
где
Итак, без учета постоянного множителя, который может быть отнесен в изменение порога, получившийся квазиоптимальный алгоритм (7.4) с весовым накоплением принятых сигналов за все время наблюдения асимптотически эквивалентен при g → 0 оптимальному алгоритму. Вес ρi, определяется вероятностью Pi,
появления отраженного сигнала в i-м объеме разрешения ρi = γPi, где γ – любая константа, например, L. При релеевской модели флуктуаций амплитуд отраженных сигналов этот алгоритм соответствует широко используемому квадратичному детектору с весовым линейным интегратором:
(7.5)
При другой модели отраженных сигналов изменится лишь вид нелинейной операции – логарифма отношения правдоподобия – на входе весового интегратора:
(7.6)
Формирование статистики Λ10 можно выполнить на ЭЦВМ с числом разрядов регистров арифметического устройства, большим 20, причем, в случае существенно различающихся ρi форма представления числа должна быть плавающей. Число уровней квантования аналого-цифрового преобразователя (АЦП) должно соответствовать числу разрядов регистров. Необходимая машинная память машинное время –
Определим зависимость вероятности правильного обнаружения D = D(L, T, g) и ложной тревоги T = T(L, T) от порога принятия решения T и радиолокационных параметров L и g. Для этого найдем вид распределения f(Λ) случайной величины Λ10 на выходе линейного интегратора после обработки сигналов за N периодов повторения. Поскольку статистика Λ10 есть взвешенная сумма случайных величин
имеющих хи-квадрат распределение с 2N степенями свободы [1], то при отыскании f(Λ) можно воспользоваться методом характеристических функций. Характеристическая функция распределения
имеет вид:
ri ∈ {0, 1}. (7.7)
В выражении (7.7) r = 0 соответствует чисто шумовому отсчету, r = 1 – отсчету, являющемуся суммой отраженного сигнала и шума приемника. В этих обозначениях характеристическая функция распределения статистики равна
ri ∈ {0, 1},
(7.8)
Умножение на вес ρi несущественно изменяет вид характеристических функций:
, (7.9)
где wi = ρi(1 + gri),
Предположим, что коэффициенты wi попарно не равны: wi ≠ wk, i ≠ k, Тогда характеристическая функция статистики Λ10 для одной из ситуаций при заданном числе элементов ПРЦ M соответствует произведению L характеристических функций (7.9):
(7.10)
где целые величины ri удовлетворяют условию ri ∈ {0, 1}.
Характеристическая функция статистики Λ10, усредненная по всем возможным ситуациям, имеет вид:
(7.11)
Вероятность правильного обнаружения D находится интегрированием обратного преобразования Фурье от (7.11) в пределах от T до ∞:
(7.12)
где интеграл вычислен в [2] в общей форме. Здесь вектор коэффициентов
вектор показателей степени
Оба вектора имеют размерность L. Итак,
(7.13)
Вероятность ложной тревоги F находится по выражению (7.13) при подстановке в него значений P(M) = d(M), M = 0, g = 0, где :
(7.14)
В частности, при N = 1 формула (7.14) существенно упрощается:
(7.15)
Вычисление порога T согласно (7.15) реализовано в процедуре FIN, приведенной в [2].
Использование точных аналитических выражений (7.13) и (7.14) для расчета характеристик обнаружения наталкивается на большие вычислительные трудности даже при малых значениях L и Mмакс. Эти трудности обусловлены двумя причинами: ограниченным числом разрядов в представлении чисел на ЭЦВМ (обычно не более 12) и экспоненциально возрастающим количеством (~2L) анализируемых ситуаций. Первая причина приводит к таким большим ошибкам, вторая – к таким затратам машинного времени, что уже при L > 16 единственно возможным методом получения характеристик обнаружения на ЭЦВМ является метод статистического моделирования. Для снижения числа испытаний и повышения точности анализа значения порога T определяется по формуле (7.14). При разрешении (7.14) относительно T используется двойная точность (24 значащих цифры) и метод Ньютона [3].
Если некоторые из коэффициентов wi попарно равны, то вид выражения (7.13) для вероятности правильного обнаружения остается прежним, изменяются лишь параметры интеграла . Например, при двух одинаковых ρi = ρj, i ≠ j, k = L – 1, mi = 2N, величины mj и wj из состава векторов
и
исключаются.