Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПРИЁМ И ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ОТ СЛОЖНЫХ ЦЕЛЕЙ

Доросинский Л. Г., Трухин М. П.,

7.2.1. Неодинаковые Pi

Допустим, что каждый разряд на выходе АЦП соответствует целой степени 2. Общее число уровней квантования АЦП обозначим R, число разрядов B = [log2 R] + 1. Следовательно, минимальное число, отличное от нуля, равно единице, максимальное – 2B–1, динамический диапазон – 6,02(B – 1) Дб по напряжению. Введем вектор 825.wmf уровней квантования. В общем случае h0 ≠ 0. Целочисленная квазиоптимальная статистика находится по следующему алгоритму, записываемому на основании аналогового алгоритма (7.5):

826.wmf (7.22)

где 827.wmf – единичная функция; ρi – целые весовые коэффициенты, соответствующие вероятностям наличия отраженных сигналов в i-м элементе разрешения; 828.wmf

При реализации алгоритма (7.22) необходимо провести L∙N квантований нормированной амплитуды xi и выполнить L(N + 1) умножений и L сложений R-значных чисел: 829.wmf. Требуемая машинная память составляет 830.wmf ячеек, предназначенных для хранения R-значных чисел.

Характеристики обнаружения алгоритма (7.22) находятся методом производящих функций. Определим вид производящей функции статистики Λ20 в одном периоде повторения. Отсчёт на выходе АЦП в некотором интервале разрешения может соответствовать либо шуму, либо шуму + сигналу. Вероятность появления отсчёта, равного r, 831.wmf, в первом случае обозначим μ0(r), во втором случае – μ1(r).

Эти вероятности определяются соотношениями

832.wmf s ∈ {0,1}; hR+1 = ∞, (7.23)

где fs(x), s ∈ {0, 1} – плотности распределения случайной величины 833.wmf на входе АЦП при отсутствии и наличии отраженного сигнала. При релеевской модели отраженных сигналов и условии, что они разрешены, эти величины равны

834.wmf s ∈ {0, 1}. (7.24)

Производящая функция ψs целочисленной величины y на выходе АЦП строится на основании вероятностей μs(r) [7]:

835.wmf s ∈ {0, 1}. (7.25)

Очевидно, при умноженииy на целый весовой коэффициент ρ производящая функция новой величины z = ρy полностью определяется выражением (7.25):

836.wmf s ∈ {0, 1}. (7.26)

Это выражение можно записать относительно всех 837.wmf, если доопределить μs(r) при нецелых r равными нулю:

838.wmf s ∈ {0, 1}. (7.27)

Тогда производящая функция 839.wmf при наличии M отраженных сигналов имеет вид:

840.wmf li = {0, 1}, (7.28)

где 841.wmf.

Производящая функция 842.wmf статистики Λ20 за все время наблюдения, усредненная по случайному числу элементов ПРЦ, легко находится по формуле (7.28):

843.wmf li = {0, 1}. (7.29)

Переходя от производящей функции (7.29) к распределению вероятности P(Λ20) и суммируя его в пределах от целочисленного порога T до LN(R – 1), получим вероятность правильного обнаружения алгоритмом (7.22) дружно движущейся ПРЦ с разрешаемыми элементами:

844.wmf (7.30)

где 845.wmf – вычисленная в [2] сумма от обратного Z-преобразования производящей функции 846.wmf в пределах от T до 847.wmf.
В формуле (7.30) K = L; Ri = (R – 1)ρi; 848.wmf ni = N, 849.wmf

Таким образом, вероятность правильного обнаружения D определяется по формуле

850.wmf (7.31)

где оба последних произведения выполняются по всем совместным решениям в целых числах двух подстрочных уравнений.

Вероятность ложной тревоги находится с помощью подстановки в (7.31) условий M = 0, P(M) = d(M), g = 0:

851.wmf (7.31)

где μ0(r) находится из (7.24) при s = 0;

Ri = (R – 1)ρi; 852.wmf ni = N, 853.wmf

Практически расчет характеристик обнаружения по формулам (7.31) и (7.32) возможен при LNR < 30–40. Если произведение LNR превышает эту границу, то необходимо обратиться к приближенным методам – статистическому моделированию или разложению распределений в ряды Эджворта [1] и Грама-Шарлье [8]. В последнем случае затраты машинного времени уменьшаются несущественно, так как вместо 854.wmf в (7.30) требуется вычислить сумму семиинвариантов для L производящих функций. Эти семиинварианты находятся по формулам, приведенным в [9, 10]. Вычисления проводятся в начале работы программы, количество ячеек на хранение j семиинвариантов каждой производящей функции равно 2jL. Переход от семиинвариантов к вероятностям и наоборот может быть выполнен с помощью процедуры FRSH [2].

Приведем выражения характеристик обнаружения для важного частного случая, когда число уровней квантования равно двум (R = 2).

Этот случай соответствует наиболее простому – бинарному – квантованию принимаемого сигнала. Вероятность правильного обнаружения согласно (7.31) при R = 2 равна:

855.wmf (7.32)

где 856.wmf li ∈ {0,1}; li = 0 соответствует шуму, li = 1 – шуму + сигналу; f0(x), f1(x) – соответствующие плотности распределений случайного процесса на входе АЦП. В частности, если N = 1, то

857.wmf (7.33)

Вероятность ложной тревоги находится подстановкой в (7.33) M = 0, g = 0, P(M) = d(M):

858.wmf (7.34)

При N = 1 она равна

859.wmf 860.wmf (7.35)

Количество слагаемых в формуле (7.35), определяемое выражением 861.wmf резко возрастает с увеличением LN (скорость роста превышает экспоненциальную). При N = 1 количество слагаемых, равное 862.wmf увеличивается не быстрее, чем 2L–1. Эти оценки скорости роста справедливы при больших вероятностях ложных тревог (F > 0,1) При F  0,1 и R ≤ 8 количество слагаемых в обоих уравнениях с увеличением L и N возрастает почти по линейному закону.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.252