Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

1.1. Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания по абсолютной величине не меньше любого положительного числа ε, ограничена сверху величиной 004.wmf где Dx – дисперсия случайной величины X

005.wmf

Неравенство Чебышева можно записать в эквивалентной форме

006.wmf

Доказательство.

1. Пусть X – дискретная случайная величина задана рядом распределения:

Xi

x1

x2

……

xn

pi

p1

p1

……

p3

Тогда дисперсия

007.wmf

Все слагаемые этой суммы – неотрицательные. Отбросим те из них, у которых 008.wmf Тогда

009.wmf

То есть суммируются только те значения i, для которых xi отклонится от mx на величину не меньше ε.

Заменим под знаком суммы 010.wmf на ε2, тогда правая часть может только уменьшиться. Значит

011.wmf

Сумма 012.wmf означает вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания на величину ≥ ε, т. е., 013.wmf

Тогда получим

014.wmf

или 015.wmf

Что и требовалось доказать.

Так как

016.wmf

то 017.wmf

Следовательно:

018.wmf

2. Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), тогда

019.wmf

Выделим на числовой оси от mx вправо и влево отрезки длинной каждый.

1.tif

Заменим интервал интегрирования (–∞; ∞) интервалом по области, лежащей вне AB, (точки А и В в отрезок не включаем.) То есть интегрирование распространяется на интервалы (–∞; mx – ε) и (mx + ε; ∞). Так как под интегралом стоит неотрицательная функция, то значение интеграла может только уменьшиться, то есть:

020.wmf

Если заменить под знаком интеграла 021.wmf на ε, то величина интеграла может только уменьшится, то есть

022.wmf

Интеграл

023.wmf

есть вероятность того, что случайная величина 024.wmf примет значение вне отрезка АВ, то есть 025.wmf Поэтому

026.wmf или 027.wmf

Замечание:

Знак ≥ заменен на >, так как для непрерывной величины её вероятность в точке равна 0.

Аналогично, как и в случае дискретной случайной величины, вероятность противоположного события запишется:

028.wmf

Итак, вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше чем 029.wmf

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, так как часто дает грубую или тривиальную оценки.

Примеры:

Пример 1.

а) Пусть 030.wmf

тогда 031.wmf

но и без этого ясно, что никакая вероятность не может быть больше 1.

б) Пусть 032.wmf Получим:

033.wmf

то есть вероятность того, что отклонение случайной величины X от математического ожидания выйдет за пределы трех среднеквадратических отклонений, не может быть больше 034.wmf.

Сравним эту оценку с оценкой, полученной с помощью правила 3σ:

035.wmf

а для

036.wmf

Очевидно, что оценка, полученная с помощью неравенства Чебышева, является довольно грубой.

с) Пусть 037.wmf, тогда

038.wmf

При вычислении с помощью формулы Лапласа получим:

039.wmf

что дает меньшее расхождение результатов. То есть, неравенство Чебышева можно применять для приближенной оценки вероятности отклонения случайной величины X от ее математического ожидания только при достаточно больших ε.

Пример 2. Электрическая подстанция обслуживает сеть с 10000 ламп. Вероятность включения каждой из них вечером равна 0,6. Оценить вероятность того, что число одновременно включенных ламп, будет находиться в пределах от 5900, до 6100.

Решение: Случайная величина X – число одновременно включенных ламп. Включение каждой лампы – независимое событие, а вероятность её включения – величина постоянная. Тогда случайная величина X распределена по биноминальному закону. Поэтому её числовые характеристики:

M[X] = np = 10000∙0,6 = 6000;

D[X] = npq = 10000∙0,6∙0,4 = 2400.

Событие состоящее в том, что случайная величина X будет находиться в пределах от 5900 до 6100 означает: 5900 < X < 6100 или 040.wmf Так как для случайной величины X дисперсия ограничена, то можем применить неравенство Чебышева

041.wmf

то есть 042.wmf

Значит, вероятность того, что число одновременно включенных ламп находящихся в пределах от 5900 до 6100, не менее 0,76.

Замечание.

Для неотрицательных случайных величин можно воспользоваться леммой А.А. Маркова.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074