Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

1.3. Первая теорема Чебышева (обобщенная)

Устанавливает связь между средним арифметическим наблюдаемых значений случайных величин, распределенных в общем случае по разным законам, и её математическим ожиданием.

Теорема: Если X1, X2, ..., Xn, ... независимые случайные величины с различными математическими ожиданиями 066.wmf и дисперсиями 067.wmf ограниченными сверху одним и тем же числом C 068.wmf то как бы ни было мало положительное число ε, вероятность неравенства 069.wmf будет как угодно близка к единице, если число случайных величин велико. То есть

070.wmf

Доказательство.

Пусть X1 – значение X в первом опыте.

X1 – значение X во втором опыте и т. д.

Совокупность X1, X2, ..., Xn – n независимых случайных величин, каждая из которых распределена по своему закону.

Рассмотрим новую случайную величину.

071.wmf

Найдем её математическое ожидание M[]. Для этого воспользуемся свойствами математического ожидания: Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:

072.wmf

Найдем дисперсию случайной величины Y, пользуясь свойствами дисперсии: постоянный множитель выносится за знак дисперсии, возведенный в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

073.wmf

Воспользуемся неравенством Чебышева для случайных величин Y.

074.wmf

Или 075.wmf

Заменим слева 076.wmf большей величиной С, тогда 077.wmf и неравенство Чебышева примет вид:

078.wmf

Знака равенства не стало, так как усилилось неравенство. Как бы ни было мало ε, можно выбрать n настолько большим, чтобы выполнялось неравенство: 079.wmf где δ – сколь угодно малая положительная величина.

Тогда

080.wmf

Затем, переходя к пределу при n → ∞, имеем:

081.wmf (так как 082.wmf).

Учитывая, что вероятность не может быть больше единицы, окончательно получаем

083.wmf

что и требовалось доказать.

В этом случае говорят, что среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к его среднему математическому ожиданию.

Другими словами, при достаточно большом числе случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, почти достоверно, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет, по абсолютной величине, сколь угодно малым.

Здесь рассматривался случай, когда независимые случайные величины Xi (i = 1, 2) имели различные законы распределения, различные математические ожидания.

На практике часто встречаются случаи, когда случайные величины Xi распределены по одному закону и имеют одно и то же математическое ожидание. Если допустить, что их дисперсии ограниченны, то к ним можно применить теорему Чебышева.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074