Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.1. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Переходя к случайным величинам определяющим k-число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равно p, получим формулы для Pn(k) и Pn(k1 ≤ k ≤ k2). Для этого надо, исходя из характера распределения каждой случайной величины, найти математическое ожидание и дисперсию для суммы k появлений события А.

M[k] = nmk = np;

D[k] = nDk = npq;

196.wmf

Тогда случайная величина k распределена также, как нормально распределенная случайная величина X с N(np, npq) для которой

197.wmf

198.wmf;

и 199.wmf

И можно записать

200.wmf

где 201.wmf (для φ(x) составлены таблицы. Приложение 2)

202.wmf

Формулы для Pn(k1) и Pn(k2 < k < k1), составляют содержание, соответственно, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Для вероятности отклонения случайной величины k от её математического ожидания получим

203.wmf

Разделим 204.wmf на n, и обозначим 205.wmf получим

206.wmf

т. е. 207.wmf

Примеры

Пример 1. Из 8 тяговых двигателей 3 не выдерживают перегрузки и выходят из строя. Какова вероятность того, что 5 из них выйдут из строя: Расчет провести, применяя:

1) локальную теорему Муавра – Лапласа;

2) по формуле Бернулли.

Решение: n = 8; 208.wmf – вероятность тяговому двигателю выдержать нагрузку 209.wmf k = 5.

1) Воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа

210.wmf

где 211.wmf Найдем

212.wmf φ(0) = 0,3989.

Тогда

213.wmf

2) Воспользуемся формулой Бернулли

214.wmf

Пример 2. На участке АВ железнодорожного пути проводится контроль зазора между рельсами. Вероятность того, что зазор окажется с отклонением от нормы, в среднем равна 0,2. Какова вероятность того, что из 900 зазоров не отклонится от нормы:

а) 700 зазоров;

б) 750 зазоров.

Решение:

n = 900; p = 0,8; q = 0,2;

а) k1 = 700;

б) k1 = 750.

a) k1 = 700. По локальной теореме Муавра – Лапласа

215.wmf

216.wmf

φ(–1,67) = φ(1,67) = 0,0989,

так как, по свойству функции плотности, φ(–x) = φ(x)

217.wmf

б) k2 = 750 Аналогично (а), получим:

218.wmf

219.wmf

φ(x) = 0,0488,

тогда 220.wmf

Пример 3. Ателье выпускает специальные костюмы для дорожных рабочих. Они выборочно проходят ОТК. Вероятность обнаружения брака для одного костюма равна 0,5. Сколько костюмов (k), с вероятностью 0,0456, отобранных наудачу из партии 100 костюмов, могут оказаться с браком?

Решение:

n = 100; Pn(k) = 0,0456; p = 0,2; q = 1 – p = 0,8.

Воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа

221.wmf

где 222.wmf

223.wmf

224.wmf

G[X] = 4.

Тогда 225.wmf а 226.wmf

То есть,

227.wmf

отсюда φ(x) = 4∙0,0456 = 0,1826.

По таблицам приложения 2 для φ(x) = 0,1826 находим значение x = 1,25.

Тогда

228.wmf

следовательно, k – 20 = 5, то есть k1 = 20 + 5 = 25, но φ(x) = φ(–x), тогда следовательно k – 20 = –5, k1 = 15.

Итак, с вероятностью 0,0456, могут оказаться бракованными от 15 до 25 костюмов.

Пример 4. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что при 40 выстрелах он поразит мишень:

а) не менее 30 раз;

б) от 20 до 30 раз.

Решение: Выстрелы по мишени – события независимые. Пусть Xi (i = 1, ..., 40) – поражение мишени при i-м выстреле. Тогда 229.wmf – число всех поражений мишени при 40 выстрелах. Математическое ожидание поражения при одном выстреле 230.wmf Для суммы попаданий в мишень M[X] = np = 40∙0,7 = 28. Аналогично для дисперсии

231.wmf

D[X] = nDx = npq = 40∙0,21 = 8,4 – для суммы поражений

232.wmf

Математическое ожидание и дисперсия конечны. Следовательно, условия для применения формулы Муавра – Лапласа, выполнены.

Воспользуемся формулой:

233.wmf

где k – число выстрелов по мишени.

а) k1 = 30; k2 = 40. Тогда:

234.wmf

б) k1 = 20; k2 = 30. Тогда:

235.wmf

Пример 5. В университет поступили 1000 абитуриентов. Вероятность не сдать первую сессию для каждого из них равна 0,2. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты не сдавших студентов от вероятности каждого студента не сдать сессию по модулю не больше, чем 0,01.

Решение: Пусть X – число студентов, не сдавших сессию p = 0,2; n = 1000; ε = 0,01.

Воспользуемся формулой:

236.wmf

Получим:

237.wmf

Пример 6. Среди 1000 рабочих, занятых на строительных работах 514 имеют среднее образование. Пусть случайная величина X – число рабочих, имеющих среднее образование. Определить интервал возможного числа этих рабочих (случайной величины X), симметричный относительно математического ожидания этой величины, в который она попадает с вероятностью 0,997.

Решение: Пусть 238.wmf Наудачу выбранный рабочий может иметь, а может и не иметь среднего образования. Пусть Xi – рабочий имеет среднее образование с вероятностью 239.wmf тогда

q = 1 – p = 1 – 0,514 = 0,486.

Математическое ожидание случайной величины Xi: 240.wmf

Дисперсия

241.wmf

Для случайной величины X, имеем

242.wmf

243.wmf

244.wmf

Применим центральную предельную теорему для случайной величины X, имеющей нормальное распределение, то есть:

245.wmf

тогда 246.wmf По таблицам приложения 3 для Φ(x) = 0,4985, найдем 247.wmf Тогда

ε = 2,96∙15,8 = 46,77 ≈ 47.

Искомый интервал будет:

248.wmf или 514 – 47 < X < 514 + 47,

то есть 467 < X < 561 или (467; 561).

С большой вероятностью (P = 0,997), можно утверждать, что число рабочих со средним образованием будет находится в пределах от 467 до 561 человека.

Пример 7. Вдоль железной дороге на участке АВ высаживают лесозащитные полосы. Для этого было использовано 500 саженцев различных деревьев. Вероятность прижиться в новом грунте каждому саженцу равна 0,9. На какую величину отклонится частота прижившихся деревьев от вероятности прижиться одному дереву по модулю, если вероятность этого отклонения P = 0,997.

Решение:

n = 500; p = 0,9; q = 1 – 0,9 = 0,1; P = 0,995.

Найти ε.

Пусть 249.wmf – количество прижившихся деревьев. Воспользуемся интегральной формулой Муавра – Лапласа:

250.wmf

251.wmf

следовательно, 252.wmf тогда 253.wmf

Пример 8. Контроль исправности прибора занимает время от 4 до 10 минут. Контролеру предстоит проверить 46 приборов. Временной интервал контроля [4, 10] для каждого прибора равновероятен. Найти вероятность того, что контролер справится с работой за 6 часов (360 мин).

Решение: Пусть Xi – время проверки i-го прибора. Тогда X = X1 + X2 + ... + X500. То есть минимальное время проверки прибора составит 46∙4 = 184 мин. Надо найти P(X ≤ 360), то есть P(184 ≤ X ≤ 360). Так как все Xi равновозможны на [4, 10], то случайная величина Xi имеет равномерный закон распределения. Тогда числовые характеристики Xi

254.wmf 255.wmf

следовательно, для 256.wmf где Xi – независимая случайная величина, получаем

257.wmf

258.wmf

259.wmf

Так как Xi – независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожидания 260.wmf и дисперсию 261.wmf то по центральной предельной теореме случайная величина X имеет закон распределения близкий к нормальному N(M[X]; σ2) = N(322; 138).

Тогда для нахождения P(X ≤ 360) воспользуемся формулой:

262.wmf

и таблицей функций Лапласа (Приложение 3). Получим

263.wmf

(где а =184 – минимальное время проверки прибора).

Пример 9. На товарный двор в течение 30 минут под погрузку прибывает в среднем 15 машин. Погрузка производится круглосуточно. Поток машин пуассоновский. Определить доверительные границы количества прошедших погрузку машин при заданной надежности 0,95.

Решение. Пусть Xi – среднее число машин, прошедших погрузку в течение каждого из 24 часов, а 264.wmf – общее число машин прошедших погрузку за сутки. Тогда 266.wmf а

267.wmf

Так как поток пуассоновский (простейший), т. е. обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия, ординарности, то

М[X] = D[X] = 720.

Воспользуемся приближенной формулой:

268.wmf

269.wmf 270.wmf

По приложению 3 находим 271.wmf откуда

272.wmf

Тогда 273.wmf или 274.wmf 720 – 53 < X < 720 + 53 или 667 < X < 773.

Итак, количество машин, прошедших погрузку, при заданной надежности 0,95 находится в интервале (667; 773).


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074