Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Краткий конспект лекций по начертательной геометрии

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,

9.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей

Развертку неразвертывающейся поверхности построить нельзя. Для построения условной развертки такой поверхности применяют метод аппроксимации, который заключается в следующем.

Данная неразвертываюшаяся поверхность Ф разбивается на некоторые отсеки. Каждый из этих отсеков заменяется отсеком кривой развертывающейся поверхности. Совокупность всех отсеков развертывающихся поверхностей называется обводом Ф' поверхности Ф. С помощью триангуляции обвод Ф' заменяется обводом Ф" гранных поверхностей. Развертка гранных поверхностей, образующих обвод Ф", принимается за условную развертку поверхности Ф. При свертывании такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение или сжатие отдельных ее участков.

Построение развертки сферы

Сферическая поверхность является неразвертывающейся. Существующие методы построения ее развертки дают лишь приближенные результаты.

Сущность одного из них заключается в том, что элемент сферической поверхности заменяется элементом цилиндрической поверхности касательной к сфере по главному меридиану m. Ось такой цилиндрической поверхности проходит через центр сферы перпендикулярно G_2. При этом под элементом сферы понимают часть ее, ограниченную двумя большими окружностями.

Для выполнения построения развертки поверхность сферы:

1) разделить большими окружностями на несколько (например 6) равных частей. Каждый из образовавшихся элементов сферы проецируется на плоскость П₁, в виде сектора;

2) описать вокруг сферы цилиндрическую поверхность, ось которой проходит через центр сферы перпендикулярно к П₂;

3) заменить элемент сферы частью цилиндрической поверхности. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента окажется треугольник А₁В₁О₁, а фронтальной – контур сферы (дуга окружности).

4) для построения развертки цилиндрического элемента (лепестка) разделить его фронтальную проекцию на восемь равных частей;

5) построить горизонтальные проекции образующих, соответствующих точкам деления. Истинные длины отрезков образующих для построения развертки взять с горизонтальной проекции (отрезки А₁ В₁, С₁ D₁, E₁ F₁, G₁ H₁) а расстояния между ними измерить на фронтальной проекции (расстояния между точками 1₂2₂, и 2₂3₂);

6) при построении цилиндрического элемента (лепестка) через середину отрезка АВ = А₁В₁ провести вертикальную ось симметрии лепестка на которой отложить вверх и вниз четыре отрезка 1₀ –2₀ = 1₂2₂, 2₀ – 3₀ = 2₂3₂, 3₀ – 4₀ = 3₂4₂, 4₀ – 5₀ = 4₂5₂.

7) через точки 2₀, 3₀, 4₀ провести отрезки C₀D₀ = C₁D₁, E₀F₀, G₀H₀ = G₁H₁.

8) соединить плавной кривой концы отрезков, в результате чего получится развертка верхней половины лепестка.

При выполнении построения развертки часто возникает необходимость определить положение какой-либо точки на поверхности. Рассмотрим положение точки К на поверхности сферы и перенесем ее изображение на развертку. Это можно выполнить с помощью двух координат дуг S₁ и S₂. S₂ показывает смещение точки К от экватора к полюсу, а дуга S₁ − смещение ее от одного из меридианов по параллели сферы. Дуга S₂ равна той части меридиана сферы, которая ограничена экватором и параллелью, проходящей через точку К (К₂).

.

Рис. 9.6. Построение развертки сферы

Длину этой дуги S₂ = К₂^´М₂ нужно откладывать на развертке от экватора соответствующего лепестка по вертикальной оси симметрии.

Строим развертку каждого сектора (лепестка) цилиндрической поверхности. На чертеже (рис. 9.6, в) показана развертка одного из них. Затем ломаная 1 - 3 - 5 - 7... заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки (рис. 9.6, г). Полученная фигура принимается за условную развертку сектора сферы. Полная развертка будет состоять из восьми таких фигур (рис. 9.6, д).

Вопросы для самоконтроля

1. Какие поверхности называются развёртывающимися?

2. Какие поверхности обладают свойством развёртываемости?

3. Какие способы построения условных развёрток вы знаете?

4. Что представляет собой развёртка многогранника?

5. Перечислите, какие способы развёрток гранных поверхностей вы знаете.

6. В чём сущность способа нормального сечения?

7. Какова развёртка кривых развёртывающихся поверхностей?

8. В чём сущность способа раскатки?

9. Как построить условную развёртку неразвёртывающихся поверхностей?