Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
8.5.2 Метод показателей Релея
Основой метода показателей служит положение о том, что размерности членов функциональной зависимости можно выразить посредством одной и той же системы единиц измерения. В таком случае все члены зависимости будут иметь одинаковую размерность, т.е. будут однородными. Этот принцип сформулирован еще в начале XIX века Фурье и был в дальнейшем развит Релеем [91].
Таким образом, если размерность любого уравнения (зависимости) может быть выражена произведением некоторых степеней [М], [L], [Т], то в соответствии с принципом Фурье показатели степени при размерностях массы, длины и времени должны быть одинаковы у всех членов уравнения. В этом случае можно утверждать, что существует функциональная зависимость между критериями подобия, полученными из параметров, определяющих изучаемое явление.
Предположим, что нам известна функциональная зависимость изучаемого явления. Составим из них степенной комплекс; обозначим искомую величину через Q, а остальные – через А, В, D, F, Е, тогда
Q= c Ax By Dz Fρ Eq, (8.43)
где С – коэффициент пропорциональности;
x, y, z, ρ, q – неизвестные показатели степени.
Размерности всех входящих параметров известны.
Зная размерность одночлена и приравнивая ее к размерности Q, получим
Lα Mβ Tγ = Lx+y-z+p Mx-p+q Ty-z+q (8.44)
Приравнивая показатели степени при одинаковых единицах измерения, получим систему из трех уравнений с пятью неизвестными
α = x + y - z + p,
β = x – p + q,
γ = y – z + q.
При любых неизвестных показателях, например, х, у, z можно определить через α, β, γ, остальные р, q войдут в окончательную за висимость в виде символов, тогда получим
Q = cAx+y-z+f(p,q) Bx+ f(p,q) Dy-z+ f(p,q)FpEq. (8.45)
Проведя перегруппировку членов уравнения (8.45) с одноименными показателями, получим критериальное уравнение.
Таким образом, в уравнении (8.43) с шестью переменными параметрами Q, А, В, D, F, Е было введено пять показателей степени, три из которых были выражены через два других. Результирующее уравнение будет содержать три безразмерных параметра.
В случае задачи с семью переменными вводится шесть неизвестных показателей степени, три из которых выражены через три остальных, результирующее уравнение будет иметь четыре безразмерных параметра.
Таким образом, можно сформулировать порядок применения метода анализа размерностей для определения критериальной зависимости:
– на основе анализа исследуемого физического явления устанавливается функциональная зависимость;
– составляется степенный комплекс, входящие в зависимость параметры выражаются через размерности;
Таблица 8.3 Размерности величин
| Наименование величин | Обозначение | Размерность |
| Длина | L | [L] |
| Время, период | T | [T] |
| Масса | M | [М] |
| Площадь | S | [L]2 |
| Объем | W | [L]3 |
| Линейная скорость | V | [L]/[Т] |
| Угловая скорость, частота вращения | ω, f | [1]/[T] |
| Линейное ускорение | а | [L]/[T]2 |
| Угловое ускорение | Φ | [1]/[T]2 |
| Расход | Q | [L3]/[T] |
| Кинематический коэффициент вязкости | ν | [L]2/[T] |
| Сила, вес, сила тяжести | F | [M][L]/[T]2 |
| Массовая плотность | ρ | [M]/[L]3 |
| Удельный вес | γ | [М]/[L]2[T]2 |
| Давление, касательное напряжение, модуль упругости | ρ, τ, E0 | [М]/[L][T]2 |
| Энергия, работа | E | [М][L]2/[T]2 |
| Количество движения | M | [М][L]/[T] |
| Мощность | N | [М][L]2/[T]3 |
| Динамический коэффициент вязкости | μ | [М]/[L][T] |
| Поверхностное натяжение | σ | [М]/[T]2 |
– приравниваются показатели степени [М], [L], [Т] в левой и правой частях уравнения, что делает его однородным по размерности;
– из системы уравнений определяют показатели степени и вводят их в исходное уравнение;
– производится группировка параметров с одноименными показателями степени.
Используя метод размерности, необходимо обращать внимание на выбор определяющих исследуемое явление параметров. Анализ изучаемого явления базируется на опыте исследователя. При этом трудно установить четкие закономерности для выбора переменных параметров. Однако на основе опыта исследований гидравлических процессов можно дать некоторые рекомендации. Например, при изучении движения водного потока при установке лесозадерживающих запаней, т.е. при наличии свободной поверхности, течение относится к гравитационному, для которого характерным параметром является сила тяжести. Если в процессе преобладают силы трения, например, при движении жидкости под действием силы тяжести в переходном или ламинарном режиме, важными параметрами будут ускорение силы тяжести и динамический коэффициент вязкости.
При изучении сопротивления воды движению отдельных бре вен, пучков или плотов, т.е. тел, не полностью погруженных в воду, необходимо учитывать силы тяжести (ускорение свободного падения) и динамическую вязкость. Если же тело полностью погружено в жидкость, т.е., когда сопротивление трения играет существенную роль, необходимо учитывать динамическую вязкость, а силы тяжести учитывать необязательно.
Для иллюстрации метода показателей рассмотрим несколько примеров из области лесосплава и гидравлики.