Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

8.6.1 Основные положения π – теоремы

Развивая теорию анализа размерностей Релея, Букенгем [91], [94] установил правило для нахождения безразмерных комплексов, определяющее любой конкретный физический процесс. Согласно π – теоремы, общую функциональную зависимость, связывающую между собой n переменных величин при N основных единиц их измерения, можно представить в виде зависимости между (n – N) безразмерными комплексами этих величин, а при наличии подобия – в виде связи (n – N) критериями подобия.

Предположим, что функциональная зависимость исследуемого явления известна, и она устанавливает связь n числа размерных физических величин a1a2a3,… an (это может быть скорость, плотность, вязкость и т.д.), т.е.

φ = (a1a2a3,… an) = 0. (8.46)

Согласно π – теореме, если величины, входящие в зависимость, могут быть выражены через N независимых размерных единиц, то их можно сгруппировать в (n – N) безразмерных комплексов [84 – 98]

φ1(π1π 2π 3,… π n-N) = 0,  (8.47)

причем число безразмерных комплексов всегда меньше числа исходных величин на (n – N).

Из уравнения (8.47) можно получить значение любого числа в виде

π1 = f (π1π 2π 3,… π n-N).  (8.48)

В задачах механики жидкости используют три безразмерных единицы – массу, длину, время (М, L, Т ), т.е. N = 3. В этом случае число безразмерных комплексов можно получить выражая числа в виде:

  (8.49)

Или для любого числа π

,  (8.50)

где  ai – каждая последующая после a3 физическая величина от a4 до ani = 4; 5...

В любом числе π будет N + 1 переменное и только одно переменное меняется от числа к числу. В каждом числе имеется три неизвестных показателя xyz. Рассматривая три независимые размерные величины (М, L, Т), получим три независимых уравнения; одновременное решение этих трех уравнений дает численное значение для трех показателей.

Для любого физического уравнения, в том числе и для уравнений (8.49), размерность левой и правой частей уравнений должна быть одинаковой. Поэтому, представив число π в виде произведения независимых размерных величин в нулевых степенях, а правую часть уравнения (8.50) – в виде степенного одночлена, получим

  (8.51)

откуда

  (8.52)

Условие однородности требует равенства показателей степени, т.е.

  (8.53)

В этих уравнениях γ, β, α – числа, определяемые на основании однородности размерности.

Система уравнений (8.53) решается однозначно относительно показателей степени xyz. Решая последовательно каждую строку уравнений (8.49), определяют все безразмерные комплексы π1π 2π 3,… π n-N

π – теорема находит применение при исследовании многих задач гидравлики и лесосплава, теоретическое решение которых дает возможность установить только лишь качественную сторону пробле мы.

Для практического использования теоретических зависимостей необходимо введение корректирующих коэффициентов, значения ко торых находятся экспериментальным путем.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074