Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.8.1. Основные понятия и расчетные формулы

Отсутствие универсального метода решения общей задачи нелинейного программирования послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. К таким методам относится и метод геометрического программирования, возникший и получивший развитие в связи с задачами инженерного проектирования.

Основное требование метода геометрического программирования состоит в том, чтобы и целевая функция, и ограничения были выражены в виде так называемых позиномов, имеющих вид:

p(2-6)

где  p- произвольные вещественные числа.

Анализ известных формул расчета деталей машин, а также всевозможных условий прочности, жесткости, устойчивости и др., показывает, что большая часть из них выражается зависимостями вида (2-6). Именно это обстоятельство позволяет считать метод геометрического программирования удачным для решения задач оптимального проектирования объектов машиностроения.

По сравнению с другими методами оптимизации геометрическое программирование имеет следующие преимущества:

  • позволяет выявить достаточно полную картину сравнительной значимости проекта и отдельных слагаемых частей целевой функции;
  • минимальное значение целевой функции находится до определения оптимальных значений параметров;
  • исходная задача с нелинейными целевой функцией и ограничениями сводится к двойственной задаче с нелинейной целевой функцией, но линейными ограничениями, решить которую легче, чем исходную задачу;
  • имеется возможность количественной оценки степени трудности решаемой задачи;
  • для реализации метода с применением ЭВМ можно разработать универсальный программный комплекс.

В общем случае исходную задачу геометрического программирования формулируют следующим образом - найти минимальное значение целевой функции f(x) при ограничениях   p p    , причем f(x) и левые части ограничений являются позиномами (2-6).

Одна из важнейших характеристик - степень трудности решаемой исходной задачи геометрического программирования определяют из выражения:

d = n-(m+1),

где n- общее число слагаемых членов во всех позиномах (целевой функции и ограничениях); т-число оптимизируемых параметров.

Степень трудности решаемой задачи характеризуется:

  • - при d = 0 - сложностью решения системы n линейных уравнений;
  • - при d = 1 - сложностью решения одного нелинейного и системы n линейных уравнений;
  • - при d> 0 - сложностью решения системы d нелинейных алгебраических уравнений и n линейных уравнений.

Подход к оптимизации позиномиальных функций основан на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим, согласно которому среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического. Использование неравенства для средних привело к появлению термина геометрического программирования.

Проиллюстрируем метод геометрического программирования (ГП) в случае линейных ограничений

Неравенство для средних позволяет заключить, что для произвольных положительных чисел  pи таких чисел p, что p имеет место соотношение

p,             (2-7)

причем равенство достигается в случае p. Полагая p, можно переписать выражение (2-7) для любых величин  pи ,p, p

p.

Неравенство обращается в равенство только тогда, когда p. Пусть p. Тогда ЦФ f(x) = p.

Следовательно, p.

Неравенство имеет место при любых p, таких, что p. Предположим, что имеет место соотношение: p. Тогда неравенство сводится к системе соотношений:  pдля всех  pпри p и p.
 Поскольку неравенство может обращаться в равенство, можно получить: p,где  δi  удовлетворяет указанным соотношениям.

Рассмотрим следующую прямую задачу геометрического программирования.

Минимизировать  pпри ограничениях p. Двойственная задача имеет следующий вид.

максимизировать  pпри ограничениях:

1. p, система неравенств называется условием неотрицательности;

2. p, данное уравнение называется условием нормализации; следует учесть в дальнейшем, что оно составляется только для позиномов, входящих в ЦФ;

3. p, указанная система уравнений называется условием ортогональности и составляется для всех позиномов; причем коэффициенты p - вещественные числа, элементы матрицы экспонент (или показателей) исходной задачи.

Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами. Наличие оптимального решения в двойственной задаче представляет собой достаточное условие существования оптимума в прямой задаче.

Для соответствующих оптимумов:

p.

Прямое и двойственное оптимальные решения связаны соотношением:

 p или p.

Допустимое решение двойственной задачи дает нижнюю границу оптимального значения ЦФ. В случае ограничений, представленных позиномами, задача усложняется, однако подход остается аналогичным.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074