Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.2.2. Двухстержневая конструкция

В этой задаче необходимо составить математическую модель минимизации веса конструкции, представленной на рис. 3.6, и провести анализ различного случая крепления стержней в точке С.

При проектировании необходимо учитывать следующие ограничения.

  • 1. Высота конструкции не должна превышать b1.
  • 2. Отношение среднего диаметра трубки к толщине её стенок не должно превышать b2.
  • 3. Прочностные соотношения для напряжений сжатия и изгиба:

Р (S2 + x23)1/2£ b3  x1  x2  x3

Р (S2 + x23)3/2£ b4  x1  x2  x3 (x21 + x22),

где b3, b4 - известные параметры.

p

Рис. 3.6. Схема конструкции.

Первым этапом в решении поставленной задачи является составление математической модели, которая имеет вид.

 

ЦФ: f(x)=m=8  x1  x2 (S2 + x23)1/2.

 

Ограничения:

  • 1. x3£ b1
  • 2. x1x2-1£ b2
  • 3. Р(S2 + x23)1/2 x1-1 x2-1 x3-1£ b3
  • 4. Р(S2 + x23)3/2 x1-1 x2-1 x3-1(x21 + x22)-1£ b4.

В соответствии с методом геометрического программирования ограничения переписываются в следующем виде:

  • 1. x3 b1-1£1
  • 2. x1x2-1 b2-1£ 1
  • 3. Р(S2 + x23)1/2 x1-1 x2-1 x3-1 b3-1£1
  • 4. Р(S2 + x23)3/2 x1-1 x2-1 x3-1(x21 + x22)-1 b4-1£ 1,

а также для получения позиномов вводятся дополнительные ограничения:

  • 5. S2 + x23£ τ2
  • 6. x21 + x22£ μ

Определение степени трудности двух задач осуществляется по формуле:

d=n - m - 1,

где n - общее количество позиномов;

      m - количество оптимизируемых параметров.

Следовательно, для различных вариантов соединения стержней параметр d имеет следующие значения.

  • 1.) жёсткое соединение узла С: d=9 - 6 - 1=2;
  • 2.) шарнирное соединение узла С: d=8 - 6 - 1=1.

Далее строится матрица экспонент.

  • 1.) жёсткое соединение узла С:

p;

  • 2.) шарнирное соединение узла С

p.

С помощью представленных матриц, из условий нормализации и ортогональности составляется система уравнений имеет следующий вид:

  • 1.) жёсткое соединение узла С

p;

 

  • 2.) шарнирное соединение узла С

p.

Так как количество уравнений в обоих случаях меньше количества неизвестных, то необходимо замкнуть систему введением уравнений равновесия, количество которых равно числу степени трудности d:

p

где        bi(0) - вектор нормализации; bi(j) - вектор невязки; ri - базисная переменная (их количество равно числу d).

Составляется двойственная функция:

  • 1.) жёсткое соединение узла С

p;

  • 2.) шарнирное соединение узла С:

p.

Итак, введение дополнительных переменных и ограничений позволило привести задачу в обоих случаях нагружения к такому виду, который позволяет применить обычный алгоритм метода геометрического программирования.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074