Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.3.1. Примеры решения вопросов по компоновке оборудования

Следующие примеры показывают возможность применения даже простых методов оптимизации для решения задач компоновки оборудования на ракете. В случае многофакторной оптимизации необходимо использовать метод целочисленного линейного программирования.

Пример 1. В шар данного радиуса R вписать прямой круговой конус максимального объема.

Решение.

Обозначим: R-радиус шара; r-радиус основания конуса;  p- высота конуса; где x-расстояние от центра шара до основания конуса.

Используя очевидные соотношения, получим:

p; p; p-объем конуса.

Следовательно, p.

Экстремальные значения определяются из следующего выражения:

p.

Решая квадратное уравнение, получим:

p, т.е.

p; p

p.

Пример 2. Среди всех круговых конусов с данной образующей l, найти корпус с наибольшим объемом.

Решение.

ЦФ имеет вид: p, где R - радиус основания конуса; h - высота конуса.

Учитывая соотношение: p, можно записать:

p.

На основании :    pppp .

Следовательно, конус с p и  p будет иметь наибольший объем.

Пример 3. Определить размеры а, в и с параллелепипеда заданного объема V, который имел бы минимальную поверхность S.

Решение.

Критерий оптимальности этой задачи (ЦФ) имеет вид:

p

Ограничение на параметры a, b и c согласно условию задачи описывается выражением:

p

Функция Лагранжа имеет вид:

p

Следовательно:

p.

Для получения расчетных формул выполним следующие действия.

p:       ;    ,    a=b;

Следовательно:      a3=V;                   a=b=c=  p        , поэтому  p .

Пример 4. Разместить в приборном отсеке ракеты приборы двух типов, каждый из которых весит 2 кГ, но один из них трехфункциональный, а другой - двухфункциональный; при этом, учитывая ограничение по общему весу в 7 кГ, добиться максимальной эффективности приборов.

Решение.

Математическая формулировка задачи выглядит следующим образом.

Максимизировать ЦФ  p,

при  ограничениях: p

где   p- целочисленные.

Начальный шаг решения этой задачи состоит в нахождении решения задачи линейного программирования (ЛП), получаемой при отбрасывании условий целочисленности и . Обозначим эту задачу через ЛП-1, решение которой представлено на рис. 3.7.

p

Рис. 3.7. Решение ЛП - 1.

pp ; f(x) = 9, поэтому найденное решение не может быть оптимальным, целочисленным.

Найденное значение  f (x) представляет собой верхнюю границу истинного оптимального целочисленного значения, поскольку при выполнении условия целочисленности x2  значение f(x) может только уменьшится.

Следующий шаг метода заключается в просмотре целочисленных значений x2, больших или меньших 1,5. Это делается путём добавления к задаче ЛП-1 либо ограничения p, либо p. Таким образом, из задачи ЛП-1 получаются две задачи следующего вида ЛП-2 и ЛП-3, представленные соответственно на рис. 3.8 и 3.9.

В этих задачах наряду с первоначальным условием соответственно добавлены:

  • для ЛП - 2 новое ограничение p,
  • для ЛП - 2 новое ограничение x2≥ 2, поэтому допустимая область в этом случае представляет собой просто отрезок АВ.

p

Рис. 3.8. Решение ЛП - 2.

p

Рис. 3.9. Решение ЛП - 3.

Изображённые допустимые области задач ЛП-2 и ЛП-3 обладают следующими свойствами.

  • 1. Оптимальное решение задачи ЛП-1 (x1 = 2; x2 = 1,5)  недопустимо для обеих задач ЛП-2 иЛП-3. Таким образом, это решение не повторится.
  • 2. Любое целочисленное (допустимое) решение исходной задачи допустимо для задачи ЛП-2 или ЛП-3. Таким образом, при введении этих задач не происходит потери допустимых (целочисленных) решений исходной задачи.

Оптимальное решение задачи ЛП-2 - точка x1 = 2; x2 = 1, f(x) =8. Следовательно, значение f(x) =8 представляет собой нижнюю границу максимального значения  f(x) для смешанной задачи ЦЛП. Поскольку ранее была получена лишь верхняя граница, равная 9, нельзя утверждать, что решение ЛП-2 оптимально для исходной задачи. Следовательно, необходимо рассмотреть задачу ЛП-3. Однако её решение недопустимо для исходной задачи ЦЛП, поскольку x1 = 1,5, но при этом  f(x) =8,5. Поэтому необходимо проверить существование в допустимой области ЛП-3 целочисленного решения, дающего  значение  f(x) ≥ 8. Для этого рассматриваются задачи ЛП-4 и ЛП-5, получающиеся при добавлении к ЛП-3 ограничений  x1 ≤ 1 и  x1 ≥ 2 соответственно.

p

Рис. 3.10. Решение ЛП - 4.

Допустимая область задачи ЛП-4 состоит из отрезка ДС, показанного на рис. 3.10, задача ЛП-5 не имеет допустимых решений. Итак, точка x1 = 2; x2 = 1, из задачи ЛП-2 представляет собой оптимальное целочисленное решение исходной задачи, так как  f(x) =8, т.е. больше   f(x) из ЛП-4.

Удобно представить последовательность задач  ЛП, возникающих при использовании процедуры метода ветвей и границ, в виде сети или дерева. Они состоят из множества вершин  и соединяющих их дуг или ветвей. Каждая вершина представляет собой либо начальную, либо конечную точку некоторой ветви.

p

Рис. 3.11. Схема решения.

Вершина 1 соответствует задаче ЛП-1, получаемой из исходной задачи при отбрасывании требования целочисленности переменных. Ветвление в вершине 1, определённое целочисленной переменной  с помощью ограничения , приводит к вершине 2 (ЛП-2). Поскольку задача ЛП-2 имеет оптимальное целочисленное решение, нет необходимости производить ветвление в вершине 2. В этом случае, когда в некоторой вершине возникает подобная ситуация, говорят, что рассматриваемая вершина прозондирована. Ветвление в вершине 1 по ограничению  даёт ЛП-3 (вершина 3). Поскольку оптимальное решение ЛП-3 является дробным, происходит дальнейшее ветвление в вершине 3 по целочисленной переменной . Таким образом, появляются вершины 4 и 5. Эти вершины являются прозондированными, поскольку ЛП-4 обладает целочисленным решением, а ЛП-5 не имеет допустимых решений. Наилучшее решение из прозондированных в вершинах является оптимальным.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1,674