Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.3.3. Бак с жидкостью

Данная задача, имеющая практическое значение при проектировании топливных баков ракет, формулируется следующим образом.

Минимизировать вес замкнутого тонкостенного бака высотой h, вмещающего по крайней мере объем V жидкости при давлении P, выбрав в качестве переменных проектирования средний радиус R и толщину стенок t. Требуется, чтобы напряжение в окружном направлении не превышало [σc], а окружная деформация была меньше ) [ε].

Указанные напряжения и деформации соответственно задаются выражениями: σс=PR/t;  ε=PR(2-μ)/(2Et),

где    E=2·1011-модуль Юнга;

μ=0.3- коэффициент Пуассона.

Решение.

Для решения задачи методом Куна - Таккера составляется функция Лагранжа, которая имеет вид:

L(x)=f(x)-Σνigi(x),

где ЦФ является вес бака, определяемый по формуле:

f(x)=(π(R+t/2)2-π(R-t/2)2)hρg;

а ограничения на прочность, деформацию и объем находятся соответственно по формулам:

  • 1. g1(x)=PR/t-σc<0;
  • 2. g2(x)=PR(2-μ)/(2Et)-[ε] <0;
  • 3. g3(x)=-hπ(R-t/2)2)+V<0.

После нахождения производных функции L(x) по оптимизируемым параметрам исследуемая система уравнений дополняется следующими выражениями:

  • 4. L/ R=2hρgt1P/t2P(2-μ)/(2Et)+ν3(2πRhth)=0;
  • 5. L/ t=2hρgR1PR/t22PR(2-μ)/(2Et2)+ν3th/2-πRh)=0.

Как уже было рассмотрено ранее (см. 3.1.3), необходимо рассмотреть следующие соотношения множителей Лагранжа и ограничений:

•1.   ν1>0,ν2>0, ν3>0; g1=0, g2=0, g3=0.

•2.   ν1=0,ν2>0, ν3>0; g2=0, g3=0.

•3.   ν1>0,ν2=0, ν3>0; g1=0, g3=0.

•4.   ν1>0,ν2>0, ν3=0; g1=0, g2=0.

•5.   ν1=0,ν2=0, ν3>0; g3=0.

•6.   ν1=0,ν2>0, ν3=0; g2=0.

•7.   ν1>0,ν2=0, ν3=0; g1=0.

•8.   ν1=0,ν2=0, ν3=0.

Исходные данные позволяют определить такой вариант сочетания ν и g, при котором параметры бака с жидкостью будут оптимальными.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074