Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Частично пористые газостатические опоры шпиндельных узлов. Теория и эксперимент: монография

Космынин А. В., Виноградова С. В., Виноградов В. С., Щетинин В. С., Смирнов А. В.,

2.2.1. Определение поля давления в зазоре подшипника

Дифференциальное уравнение (2.13) представляет собой уравнение эл­лип­тического типа в частных производных, аналитическое решение которого остается нерешенной задачей. Поэтому решим уравнение Рейнольдса численным интегрированием [150].

Запишем выражение (2.13) в конечно-разностной форме. Для этого сначала его приведем к виду:

1,

где 1.

Введем обозначение

1,

и с учетом этого получим:

1.     (2.14)

Выражение (2.14) является исходным для определения поля давления в зазоре подшипника путем численного интегрирования.

Разобьем область интегрирования 1 на 1 узлов, где 1 - количество горизонтальных линий сетки, 1 - количество вертикальных линий сетки. Шаг изменения переменных 1 и 1, следовательно, будет равен (рис. 2.4):

1.

 1

Рис. 2.4. Шаблон конечно-разностной сетки области интегрирования

Текущие координаты узлов сетки находятся из уравнений:

1i=1, 2, 3,... 1,  1  ,   j=1, 2, 3, ... 1.

Обозначим координаты точек конечно-разностной сетки  через координаты узлов (i, j) и заменим все частные производные, которые содержит уравнение (2.14) центральными конечными разностями по формулам:

1;

1;                         (2.15)

1.

С учетом уравнений (2.15) выражение (2.14) в конечно-разностной форме примет вид:

1

где 1,   j=1, 2, 3, ... .

Из последнего уравнения выразим величину 1:

1    (2.16)

В соответствие с представленной на рис. 2.4 областью интегрирования поставим граничные условия решаемой задачи с учетом дискретного расположения пористых ограничителей расхода. Попутно заметим, что с целью упрощения расчетов шпоночная форма вставок заменена эквивалентной ей по площади прямоугольной формой.

Граничные условия на внешнем контуре конечно-разностной сетки имеют вид:

1;         (2.17)

1;             (2.18)

1;          (2.19)

1.              (2.20)

Граничное условие на вертикальных линиях контура пористых вставок при 1 и 1, где = 1, 2, ...  следующее:

1.      (2.21)

Граничные условия на горизонтальных линиях контура пористых вставок при 1:

- нижняя граница k-той вставки (1 )

41;        (2.22)

- верхняя граница k-той вставки (1 ):

1.         (2.23)

Граничные условия в точках пересечения вертикальных и горизонтальных линий контура пористых вставок:

- в точках с координатами 1

1;         (2.24)

- в точках с координатами 1

1;                  (2.25)

- в точках с координатами 1

1;                          (2.26)

- в точках с координатами 1

1.                    (2.27)

Совокупная система уравнений (2.16)-(2.27) является замкнутой, так как позволяет определить давление газа в любом узле конечно-разностной сетки.

Кроме границ пористых вставок относительное давление 1 определяется согласно (2.16) во внутренних узлах области интегрирования и с учетом (2.17)-(2.20) на ее границе. Исходя граничных условий, запишем систему алгебраических разностных уравнений, с помощью которых находится относительное давление 1 на границах разностной сетки и пористых вставок. При этом будем иметь в виду четность функции 1:

1.

Принимая во внимание граничные условия (2.17) и (2.18), выражения для определения давления в точках, лежащих на линиях j=1 и , 1 имеют вид:

1

где = 2, 3, ... 1.

С учетом граничного условия (2.19) уравнение для давления в точках, расположенных на линии i = 1, имеет следующую форму записи:

1

где = 2, 3, ... 1.

Давление газа в точках с координатами (1, 1) и (1, 1) находится из выражения:

1.

Формула для расчета давления во внутренних точках вертикальных границ k-той пористой вставки при 1 имеет вид:

1,   1 .            (2.28)

Во внутренних точках горизонтальных границ пористых вставок давление находится из выражений:

- на линиях 1 k-й вставки

1,   1 ;               (2.29)

- на линиях 1 k-й вставки

1,  1 .            (2.30)

Формулы для расчета давления в точках пересечения вертикальных и горизонтальных граничных линий пористых вставок имеют следующий вид:

- в точках с координатами (1 )

1;                         (2.31)

- в точках с координатами (1 )

1;                          (2.32)

- в точках с координатами (1 )

1;                    (2.33)

- в точках с координатами (1 )

1.                     (2.34)


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074