Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Методы построения активных фильтров подавления импульсных помех в сетях электропитания промысловых судов

Горева Т. С., Портнягин Н. Н.,

1.2. Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье - преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Любой сигнал с периодом N может быть представлен в виде суммы дискретных синусоидальных волн. Пространство сигналов с периодом N - это евклидово пространство размерности N, и скалярное произведение двух таких сигналов f и g:

.            (1.7)

Ортогональный базис пространства сигналов с периодом N представляем в виде:

.      (1.8)

Так как пространство имеет размерность N, то любое ортогональное семейство из N векторов образует ортогональный базис. Любой сигнал f с периодом Nможет быть разложен по этому базису:

.            (1.9)

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) есть:

.                  (1.10)

Так как , получим формулу обратного дискретного преобразования Фурье:

.                      (1.11)

Важно рассматривать периодический сигнал с периодом N вместо конечного сигнала по N отсчетам. Если  и  сильно отличаются друг от друга, то это приведет к резкому скачку в периодическом сигнале в результате - относительно большим амплитудам коэффициентов Фурье для высоких частот. [4,5]