Научная электронная библиотека

Методы построения активных фильтров подавления импульсных помех в сетях электропитания промысловых судов

Горева Т. С., Портнягин Н. Н.,

2.4. Частотно-временная локализация

Свойство частотной и временной локализации вейвлет-функцийможет быть охарактеризовано концентрацией их энергии в частотной и временной областях, или посредством частотно-временных окон.

Построение частотно-временных окон основывается на определении вторых центральных моментов (дисперсии) функций и , квадратный корень из которых как раз характеризует область наибольшей концентрации энергии.

Рассчитаем первый начальный (математическое ожидание) и второй центральный моменты функции следующим образом:

, (2.27)

, (2.28)

где - норма базисной вейвлет-функции.

Тогда после замены переменной и преобразований, связанных с ее введением под знак интеграла (1.27), получим:

Поскольку норма и энергия вейвлет-функции взаимосвязаны соотношением таким, что , в то время как представляет собой первый начальный момент функции (1.27), оказывается очевидным тот факт, что результирующее выражение для принимает вид:

(2.29)

Другими словами, всякая дилатация, осуществляемая над материнской вейвлет-функцией, приводит к пропорциональному увеличению расстояния между центрами тяжести ее клонов.

Подставим выражение (1.29) в выражение для второго центрального момента вейвлет-функции, в результате чего получим:

Введя в данном выражении обозначение , перепишем его в следующем виде:

(2.30)

Выражение (1.30) определяет величину, представляющую собой квадрат диаметра вейвлет-функции, рассматриваемой во временной области.

Сказанное означает, что вейвлет-функция занимает временное окно

, (2.31)

а также обладает носителем с центром в точке .

Можно сказать, что сингулярность сигнала , рассматриваемая в точке , может быть аппроксимирована с меньшей погрешностью при задании меньших значений масштабирующей переменной вейвлета, т.е. при попадании на плоскости в так называемый угол влияния. В то же время, значение функции в точке может быть определено по значению сигнала f(t), взятому в точке b₀ при условии попадания в такой же угол. Мелкомасштабные сингулярности сигнала получают наилучшее отображение на плоскости (a,b) в случае задания малых значений переменной a вейвлет-функции, одновременно с этим претерпевая сглаживание при больших ее значениях, которые, в свою очередь, способствуют проявлению, как раз напротив, ламинарностей сигнала.

Определим аналогичным образом локальные свойства вейвлет-функции в частотной области, полагая, что представляет собой второй центральный момент образа Фурье функции.

С целью записи континуального вейвлет-преобразования в частотной области воспользуемся нотацией Фурье, а также равенством Парсеваля:

т.е. констатируем тот факт, что вейвлет-преобразование представляет собой полосовой фильтр с настройкой ω₀ и шириной полосы пропускания . Действительно, процедура дилатации, осуществляемая над вейвлет-функцией во временной области, соответствует обратному изменению ширины полосы пропускания фильтра в спектральной области: например, при уменьшении ширины носителя вейвлет-функции полоса пропускания фильтра увеличивается и наоборот.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что вейвлет-преобразование обеспечивает информацией о спектре сигнала в полосе частот , т.е. в окне , имеющем носитель .

Свойство вейвлет-функций осуществлять спектральный анализ сигналов с постоянной добротностью, можно подтвердить также тем фактом, что площадь частотно-временного окна, занимаемого вейвлет-функцией, также остается неизменной для любых значений масштабирующей переменной и равной (рис. 2.2). Данное свойство удовлетворяет принципу неопределенности Гейзенберга, утверждающему, что увеличение носителя вейвлет-функции во временной области приводит к уменьшению ее спектральной полосы и, наоборот, временное сжатие функции соответствует увеличению носителя ее образа Фурье.