,
имеющих одинаковые масштабы вдоль осей x1 и x2. Эти сепарабельные базисы вейвлет-пакетов связаны с квадратными деревьями и разбивают двумерную плоскость Фурье на квадратные области различных размеров. Сепарабельные базисы вейвлет-пакетов - это расширение сепарабельных вейвлет-базисов.
Если изображения приближаются с масштабом 2L, то с корнем квадратного дерева мы связываем пространство аппроксимации , объясняет,как разложить VL с помощью двоичного дерева вейвлет-пакетов пространств
, которые допускают ортогональный базис
. Двумерное квадратное дерево вейвлет-пакетов состоит из сепарабельных пространств вейвлет-пакетов. Каждый узел этого квадратного дерева помечается масштабом 2j и двумя целыми числами:
и
, и соответствует сепарабельному пространству
. (2.32)
В результате сепарабельный вейвлет-пакет при x = (x1, x2) есть
.
Ортогональный базис получается как с6епарабельное произведение базисов вейвлет-пакетов
и
и может быть записан как
.
В корне вейвлет-пакет есть двумерная масштабирующая функция
.
Одномерные пространства вейвлет-пакетов удовлетворяют равенствам
и
.
Из подстановки этих уравнений в (4.1.) следует, что есть прямая сумма четырех ортогональных подпространств
(2.33.)
Эти подпространства расположены в четырех рожденных узлах квадратного дерева, как показано на рис.2.3. Допустимым квадратичным деревом называется любое квадратичное дерево, узлы которого имеют 0 или 4 рожденных.
Рис. 2.3. Квадратичное дерево вейвлет-пакетов для изображений
строится рекурсивно разложением каждого сепарабельного
пространства на четыре подпространства
Пусть - индексы узлов у листьев допустимого квадратичного дерева. Рекурсивное применение сумм (1.33.) вдоль ветвей этого квадратичного дерева дает ортогональное разложение
:
.
Поэтому объединение соответствующих базисов вейвлет-пакетов
есть ортонормированный базис .
Число базисов вейвлет-пакета
Число различных базисов в полном квадратном дереве вейвлет-пакетов глубины J равняется числу допустимых поддеревьев.
Число BJ базисов вейвлет-пакета в полном квадратичном дереве вейвлет-пакета в полном квадратном дереве вейвлет-пакетов глубины J удовлетворяет неравенствам