Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
1.6. Теория оптимального распределения ресурсов
До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Петербурге, учился в Ленинградском университете. В 1930 г. Л. Канторович был участником Всесоюзного математического съезда. В этом же году закончил университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. В 1930-1939 гг. работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, потом (до 1948) - заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища.
В 1935 г. стал доктором физико-математических наук; до 1960 г. он - профессор Ленинградского университета. Ему принадлежат первоклассные результаты по функциональному анализу, теории функций, вычислительной математике. Широкое признание приобрели его работы по дескриптивной теории функции и теории множества, по конструктивной теории функций, приблизительным методам анализа; он заложил основы нового направления функционального анализа - теории полуупорядоченных векторных пространств, которые названы «К-пространствами». Феномен Л. Канторовича в том, что он одновременно был талантливым математиком и экономистом, который внес коррективы в понимание экономических явлений, расширил экономическое мышление, стал основоположником оригинальной экономической школы.
В 1958 г. вместе с В. Немчиновым Л. Канторович создал Лабораторию по внедрению статистических и математических методов в экономике.
Л. Канторович принимал участие в создании Сибирского отделения Академии наук СССР. Осенью 1960 г. в Ленинграде возглавил группу математиков и экономистов, которая переехала в Новосибирск и вошла в состав Института математики Сибирского отделения АН СССР как математико-экономический отдел. Одновременно работал профессором Новосибирского университета. В 1971 г., переехав в Москву, ученый возглавлял Проблемную лабораторию в Институте управления народным хозяйством Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике.
Является автором работ: «Методы приблизительного решения дифференциальных уравнений в частных производных» (в соавторстве с В. Крыловым) (1963), «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (в соавторстве с Б. Вулихом и А. Пинскером) (1949), «Функциональный анализ и прикладная математика» (1948), «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), «Функциональный анализ в нормированных пространствах» (в соавторстве с Г. Акиловым), «Динамическая модель оптимального планирования» (1967), «Ценообразование и технический прогресс» (1979) и др.
Л. Канторович - почетный член Международного Эконометрического общества, почетный доктор Гренобльского, Хельсинского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Халле, Статистического института в Калькутте. Награжден двумя орденами Ленина.
Важнейшим вкладом Л. Канторовича явилась теория оптимального распределения ресурсов.
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования.
Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Его началом стал поиск решения практической задачи. В 1937 г. к профессору Ленинградского университета Л. Канторовичу обратились инженеры местного фанерного треста с просьбой найти эффективный способ для обеспечения наивысшей производительности труда. Для обработки 5 видов материала выделили 8 станков с определенной производительностью каждого из них по каждому виду материала.
Другими словами, нужно было решить конкретную технико-экономическую задачу с целевой функцией («функционалом») - максимизировать выпуск готовой продукции. Известными на тот момент методами это сделать было трудно, поскольку было необходимо решить почти миллиард алгебраических уравнений. Л. Канторович предложил метод линейного программирования, который стал новым разделом в математике и получил признание в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники.
Ученый понимал важность создания математической основы для решений типовой хозяйственной задачи. Условия задачи на оптимальность и цель могут выражаться с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни одно неизвестное не умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, которые можно изобразить на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача имеет несколько вариантов решения, а найти необходимо один.
В задаче по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович ввел переменную, которую следует максимизировать, в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничения были изложены в форме уравнений, устанавливающих соотношения между всеми факторами, затрачиваемыми в производстве (деревом, клеем, электроэнергией, рабочим временем), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом станке. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные «решающими множителями» (мультипликаторами). С их помощью решается поставленная задача. Если значения решающих множителей известны, то необходимые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно сравнительно легко найти.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Внедренный Л. Канторовичем термин «решающие множители» в более поздних трудах получил несколько другую интерпретацию и другую формулировку - «объективно обусловленные оценки». Эти оценки не произвольны, их величины объективно обусловлены, они задаются конкретными условиями задачи. Значения этих оценок подходят только для конкретной задачи и, в отличие от цен, задаются не извне, а определяются самим предприятием для внутреннего пользования. Ученый предлагал рассчитать их в разработке планов; на эти показатели могут опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедренные
в практику планирования и управления такие расчеты должны оптимизировать использование ресурсов.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
На оригинальный подход Л. Канторовича до 50-х годов почти не реагировали. Обобщив свои исследования, он расширил сферу анализа.
В работе «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» и в следующих работах он внедрил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в том числе и на национальном уровне.
Несколько позднее, но независимо от Л. Канторовича подобную методологию предложил Т.-Ч. Купманс.
Купманс (Koopmans) Тъяллинг-Чарльз (1910-1985) - американский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975). Родился в Гравеланде (Нидерланды). Получил образование в Утрехтском университете. Увлекался сначала математикой и физикой, работал физиком, а под впечатлением от Великой депрессии начал заниматься экономикой.
С 1934 г. в Амстердамском университете изучал проблему общего равновесия. Докторскую диссертацию на тему «Линейный регрессивный анализ экономических временных рядов» защитил в 1936 г. в Лейденском университете. Преподавал экономику и занимался научно-исследовательской деятельностью в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме.
В 1938-1940 гг. работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного оборота. Эмигрировал в США. Преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах. С 1955 г. - профессор экономики Йельского университета. В 1950 г. был избран президентом Международного эконометрического общества, а в 1978 г. - президентом Американской экономической ассоциации.
Т.-Ч. Купманс был редактором и соавтором одного из первых фундаментальных трудов по линейному программированию «Анализ деятельности производства и распределения» (1951).
Ученому принадлежат важные достижения в разработке теории капитала, операционного анализа. Отдельные свои труды он посвятил оптимальному распределению производственных ресурсов, статистической оценке параметров в экономико-математических моделях.
Его детище - работы по статистике и математической экономике. Наибольшее признание получили работа «Анализ деятельности производства и распределения», подготовленная группой авторов под его руководством, а также работы «Статистическое заключение в динамических моделях экономики» (1950), «Три эссе о состоянии экономической науки» (1957) и др.
Т.-Ч. Купманс - заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского университета, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Северо-Западного и Пенсильванского университетов, Католического университета Лувена.
В 1944-1945 гг. по поручению англо-американского объединенного совета по регулированию мореплавания Т.-Ч. Купманс разработал план торгового мореплавания, который минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых суден фашистскими подводными лодками. Целью была минимизация холостого пробега суден.
Эту тему он затронул в работе «Соотношение между грузопотоками по различным маршрутам» (1942). Ученый показал, что проблему следует рассматривать как линейную функцию максимизации в пределах многих ограничений. Ограничения представил математическими уравнениями, которые выражают отношение количества затраченных факторов производства (амортизации суден, времени, трудовых затрат) к количеству доставленных в разные пункты назначения грузов. При этом величина любых затрат не может превышать явную сумму стоимости грузов, доставленных в каждый порт. Ученый пришел к выводу, что суть принципа линейного программирования заключается в том, что в оптимальном случае и по идеальным оценкам всех ресурсов издержки и результаты будут равными.
Работая в британской торговой миссии в Вашингтоне, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями. По этому методу можно было, например, рассчитать издержки на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозятся тысячами суден морскими путями в сотни портов. Метод Т.-Ч. Купманса, который был назван «анализом деятельности фирмы», вошел в общую методологию линейного программирования.
В 1947 г. ученый озвучил свои выводы на международной конференции по статистике. В то время он активно разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. При его содействии в 1949 г. в Чикаго была проведена первая специальная конференция по линейному программированию.
В 1950 г. Т.-Ч. Купманс вместе со своими сторонниками завершили формулирование метода анализа деятельности фирмы. Модели этого типа так же, как и межотраслевые, линейные, однако у них каждый вид производственной деятельности может быть связан с выпуском нескольких товаров. К тому же существует возможность выбора между разными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему появляются естественные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.