Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.5 Математические основы моделирования процесса электризации в кусочно-однородной среде

Для получения аналитических решений при расчете электростатического поля, которое образованно распределенными в неоднородном пространстве электрическими зарядами, иногда упрощают геометрию области и входящих в нее тел, а также изменяют свойства материалов, переходя от реальных, обладающих нелинейными характеристиками, к идеальным, т.е. линейным. Широко используются такие аналитические методы, как метод разделения переменных, метод зеркальных отображений [129-133]. Учитывая то, что существующие аналитические методы не всегда могут обеспечить точное решение поставленной задачи, в настоящее время все более актуальной становится проблема разработки общих численных алгоритмов [129], позволяющих с необходимой точностью произвести расчет трехмерных электростатических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах при сложных формах поверхностей раздела сред. Задача объективного выбора расчетного метода, наиболее пригодного для решения определенного класса задач электростатики, до настоящего времени не может считаться окончательно решенной. Такое положение объясняется рядом причин. Одной из них является отсутствие общепризнанных критериев сравнения. Второй причиной служит тот факт, что один и тот же метод может быть реализован по-разному в программах различных авторов.

Одним из универсальных численных методов решения краевых задач для электростатического поля является метод конечных разностей [130]. Однако данный численный метод не обеспечивают эффективное решение задачи, так как для достижения требуемой точности используется очень мелкая конечно-разностная сетка, что приводит к резкому увеличению времени ее решения.

Для расчета электрических полей в кусочно-однородных средах (когда диэлектрическая проницаемость сохраняет постоянные значения внутри некоторых областей однородности, а на границе этих областей изменяется скачком) широко применяется так называемый метод вторичных источников. Согласно концепции метода вторичных источников расчет поля в кусочно-однородной среде сводится к расчету поля в однородной среде. Это достигается введением простого слоя связанных зарядов плотности σ_св [134, 135]. В работе Тозони О.В. используется интегральные уравнения II рода для расчета электростатического поля в линейных кусочно-однородных средах.

Электростатическое поле представляет собой частный случай электромагнитного поля, когда источниками поля являются неподвижные в пространстве и неизменяющиеся во времени электрические заряды. Для анализа электростатического поля применяется общая теоретическая модель - система уравнений Максвелла. Полагая, что все производные по времени равными нулю, и учитывая неподвижность электрических зарядов, получаем систему уравнений электростатического поля:

;              ;            ,                        (3.15)

где  - вектор напряженности электрического поля, В/м;  - вектор электрического смещения В/м; ρ - объемная плотность свободного заряда Кл/м³; ε - диэлектрическая проницаемость среды.

В условиях задачи для кусочно-однородной среды диэлектрическая проницаемость - скалярная величина, постоянная внутри некоторых областей и изменяющаяся скачком на границе этих областей. На границе раздела сред с различными диэлектрическими проницаемостями (ε_i - внутри и ε_e - снаружи границы S) для вектора напряженности электрического поля выполняются граничные условия:

,                                                             (3.16)

где  и  - касательные к границе S компоненты вектора .

Безвихревой характер электростатического поля позволяет ввести скалярный электрический потенциал φ и свести систему уравнений (3.15) к уравнению Пуассона для скалярного потенциала, т.е.

                                       (3.17)

Вне объёма, занятого источниками электростатического поля (ρ=0), уравнение (3.17) переходит в уравнение Лапласа:

                                           (3.18)

Тогда вычисление электростатического поля, созданного объемными зарядами, распределенными в пространстве, состоящего из двух однородных сред с диэлектрическими проницаемостями ε_i и ε_e (рис. 3.6), сводится к решению следующей краевой задачи для скалярного электрического потенциала φ:

,                   в области  (k=1, 2, 3,...,m)                 (3.19)

               в области                       (3.20)

         в области  (k=1, 2, 3,...,n)                  (3.21)

               в области                       (3.22)

Рисунок 3.6 - Граница S двух однородных сред с диэлектрическими проницаемостями ε_i и ε_e и областями распределенных зарядов (V_i^k, V_e^k).

Граничные условия (3.16) будут выполнены, если на границе раздела двух однородных сред будут выполняться краевые условия:

                                             (3.23)

                                        (3.24)

В однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε потенциал поля, созданного объемно распределенными зарядами, вычисляется по формуле:

,                          (3.25)

где r_MQ - расстояние между точкой Q, в которой определяется потенциал и переменной интегрирования M, м; ρ_k(M) - распределенный свободный заряд, Кл/м³; ε - диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ - электрическая постоянная (ε₀=8.85∙10^-12 Ф/м). Суммирование ведется по всем областям V_k, занятым свободными зарядами ρ_k(M) в однородной среде, представленной на рисунке 3.7.

Из выражений (3.17) и (3.25) получено выражение для вектора напряженности электростатического поля - :

,                             (3.26)

Для определения напряженности электростатического поля в любой точке пространства, заполненного однородной изотропной средой, выполняется интегрирование по источникам, создающим это поле.

Рисунок 3.7 - Однородная среда с распределенными зарядами.

В условиях рассматриваемой задачи среда, в которой распределены электростатические заряды, создающие электростатическое поле, неоднородная. Для перехода к однородной среде использован метод интегральных уравнений (метод вторичных источников), основы которого разработаны и предложены Тозони. Введением дополнительных вторичных источников, распределенных по границе раздела сред, кусочно-однородная среда была сведена к однородной среде. При этом выполняться условие - электрическое поле в однородной среде, созданное первичными и вторичными источниками, совпадает с полем первичных источников в кусочно-однородной среде по своим характеристикам.

В условиях поставленной задачи, определение напряженности электростатического поля распределенных в пространстве электрических зарядов, при введении простого слоя связанных зарядов на границе раздела сред должен сохраняться скачек нормальной составляющей напряженности поля, т.е.:

.                                             (3.27)

Для обеспечения скачка нормальной составляющей напряженности электрического поля на границе кусочно-однородной среды (рисунок 3.8) введен простой слой связанных зарядов, поверхностная плотность которого равна σ. Вокруг некоторой точки Q, принадлежащей границе S, «вырезан» элемент поверхности ∆S столь малых размеров, чтобы можно было пренебречь его кривизной и считать его плоским.

Нормальная к границе раздела сред S составляющая напряженности электростатического поля представлена в виде:

,                                   (3.28)

где  - нормальная составляющая напряженности, создаваемая зарядом ;  - нормальная составляющая напряженности, создаваемая всеми остальными зарядами, расположенными как на поверхности раздела двух сред S, так и вне её.

Рисунок 3.8 - Нормальные составляющие напряженности электростатического поля на границе кусочно-однородной среды

Согласно выражению (3.26) после ряда преобразований и предельного перехода , учитывая условие (3.27), получено выражение для поверхностной плотности свободного заряда:

,      (3.29)

где  - объёмная плотность свободного заряда в области , приведенная к среде с проницаемостью ε_e;  - безразмерный коэффициент.

Согласно методу вторичных источников вначале из интегрального уравнения (3.29) определено распределение плотности связанных зарядов σ(М), после чего величина напряженности найдена из соотношения:

           (3.30)

Математические выражения представляют собой аналитическое решение для определения вектора напряженности электростатического поля, возникающего в результате электризации многослойного пакета материалов одежды, который, с точки зрения физики, представляет собой кусочно-однородную среду.