Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.2. Координаты Эйлера и уравнение Шредингера в основе решения задачи определения радиусов ионов

В работе [65] представлена история становления квантовой механики. При получении уравнения для атома водорода Э. Шредингер исходил из уравнения Гамильтона в частных производных:

,

где  – координата;  – импульс, в котором  есть функция действия;  – энергия.

Далее им приведено уравнение в виде:

,                                 (2.1)

где ψ – волновая функция.

Это уравнение сам Э. Шредингер назвал эйлеровским дифференциальным уравнением [65]. Никаких комментариев и ссылок по этому поводу он не приводил. Введение Э. Шредингером в уравнение (2.1) вместо постоянной K величины  позволило получить уравнение вида:

.                                 (2.2)

В таком виде уравнение (2.2) называют стационарным уравнением Шредингера.

Как видно, основой приведенного уравнения (2.1) является волновая функция

,

где  можно назвать координатами Эйлера: t – время или временной масштаб события,  – пространственный масштаб и  – импульс или энергетический эффект, сопровождающий данное явление.

В данном параграфе рассматривается возможность получения различных вариантов уравнения Шредингера в зависимости от бесконечно малого изменения волновой функции  в форме ее дифференциала:

.                          (2.3)

Откуда следует, что

.                                   (2.4)

Из курса механики известно, что:

 – скорость;

 – сила,

где Н – функция Гамильтона, равная , в которой U – потенциальная энергия. Учитывая данные выражения, уравнение (2.4) можно записать в виде:

.                             (2.5)

Также из курса механики известно выражение, которое представляет собой классическую скобку Пуассона:

,

Следовательно, выражение (2.5) можно представить в упрощенном виде:

.                                   (2.6)

Если волновая функция  не зависит явно от времени, т.е. , в этом случае, дальнейшее упрощение выражения (2.6) приводит к виду:

.                                          (2.7)

Введение же в приведенное выражение (2.7) оператора Гамильтона

вместо функции Гамильтона Н дает возможность получения упрощенного уравнения Шредингера в виде:

,                                      (2.8)

а это есть, по существу, стационарное уравнение Шредингера.

Как показано, оператор Гамильтона H определяется операторами импульса p и . Следовательно, возникает необходимость установления видов p и q. Обычно, во многих изданиях по квантовой механике эти величины постулируются, т.е. даются без выводов и доказательств. Для решения данной задачи можно использовать для волновой функции  Фурье – преобразования [66]:

;                                  (2.9)

.                               (2.10)

Дифференцирование левых и правых частей уравнений (2.9) и (2.10) позволяет устранить непростые интегралы в левых частях данных равенств:

;                                (2.11)

.                              (2.12)

Дифференцирование уравнения (2.11) по импульсу p и уравнения (2.12) по координате q приводит к следующим равенствам:

;                      (2.13)

.                     (2.14)

Полученные выражения с учетом уравнений (2.11) и (2.12) можно представить в упрощенных формах:

;                               (2.15)

.                             (2.16)

Отсюда следует, что

;                                         (2.17)

.                                       (2.18)

Далее, в правую часть выражений (2.17) и (2.18) введем обозначения  и p соответственно. Это и есть искомые операторы импульса и коор­ди­наты, которые называют эрмитовыми [67]:

;                                           (2.19)

.                                           (2.20)

Следовательно, оператор Гамильтона в уравнении (2.8) имеет вид:

.                                  (2.21)

Отсюда вытекает условие эрмитовости:

.                 (2.22)

Данное выражение показывает, что результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифферен­цирования, или иначе функции φ и  коммутативны [68]:

.                                 (2.23)

Тогда как координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют в отличие от выражения (2.23):

.                                   (2.24)

Так же, значение оператора Гамильтона  позволяет

перейти к так называемым перестановочным соотношениям Иордана-Борна. Так, согласно Дираку [65], разность гейзенберговских произведений двух квантовых величин х и у равна скобке Пуассона этих величин, умноженной на :

.                                 (2.25)

Теперь, если же волновая функция ψ зависит явно от времени, т.е. , то получаем нестационарное уравнение Шредингера:

.                                   (2.26)

Далее использование скобки Пуассона из перестановочного соотношения Иордана-Борна (2.25) в полученном уравнении позволяет получить выражение (2.26) в виде:

.                                     (2.27)

Согласно Дираку [69], поскольку уравнение (2.27) содержит два неизвестных, то оно не имеет решения даже для атома водорода. В по­сле­дующие годы при изучении уравнения (2.27) физики нашли способ решения в виде двух задач:

Первая колебательная задача состоит в постулировании содержания волновой функции ψ и использовании матрицы силовых полей, дающих экспериментально энергии;

Вторая задача состоит в постулировании энергии и дальнейшем нахождении функции ψ.

Использование в первой колебательной задаче волновой функции Слейтера-Зинера и потенциалов ионизаций атомов ионов позволило нам теоретически рассчитать ионные радиусы элементов в хорошем соответствии с эмпирическими и полуэмпирическими значениями радиусов ионов по Полингу, Гольдшмидту, Белову-Бокию, Мелвину-Хьюзу и Ин­гольду [70].


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074