Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Балданова Д М, Танганов Б Б,
2.2. Координаты Эйлера и уравнение Шредингера в основе решения задачи определения радиусов ионов
В работе [65] представлена история становления квантовой механики. При получении уравнения для атома водорода Э. Шредингер исходил из уравнения Гамильтона в частных производных:
,
где 
– координата; 
– импульс, в котором 
есть функция действия; 
– энергия.
Далее им приведено уравнение в виде:
, (2.1)
где ψ – волновая функция.
Это уравнение сам Э. Шредингер назвал эйлеровским дифференциальным уравнением [65]. Никаких комментариев и ссылок по этому поводу он не приводил. Введение Э. Шредингером в уравнение (2.1) вместо постоянной K величины 
позволило получить уравнение вида:
. (2.2)
В таком виде уравнение (2.2) называют стационарным уравнением Шредингера.
Как видно, основой приведенного уравнения (2.1) является волновая функция
,
где 
можно назвать координатами Эйлера: t – время или временной масштаб события, 
– пространственный масштаб и 
– импульс или энергетический эффект, сопровождающий данное явление.
В данном параграфе рассматривается возможность получения различных вариантов уравнения Шредингера в зависимости от бесконечно малого изменения волновой функции в форме ее дифференциала:
. (2.3)
Откуда следует, что
. (2.4)
Из курса механики известно, что:
– скорость;
– сила,
где Н – функция Гамильтона, равная 
, в которой U – потенциальная энергия. Учитывая данные выражения, уравнение (2.4) можно записать в виде:
. (2.5)
Также из курса механики известно выражение, которое представляет собой классическую скобку Пуассона:
,
Следовательно, выражение (2.5) можно представить в упрощенном виде:
. (2.6)
Если волновая функция 
не зависит явно от времени, т.е. 
, в этом случае, дальнейшее упрощение выражения (2.6) приводит к виду:
. (2.7)
Введение же в приведенное выражение (2.7) оператора Гамильтона
вместо функции Гамильтона Н дает возможность получения упрощенного уравнения Шредингера в виде:
, (2.8)
а это есть, по существу, стационарное уравнение Шредингера.
Как показано, оператор Гамильтона H определяется операторами импульса p и 
. Следовательно, возникает необходимость установления видов p и q. Обычно, во многих изданиях по квантовой механике эти величины постулируются, т.е. даются без выводов и доказательств. Для решения данной задачи можно использовать для волновой функции Фурье – преобразования [66]:
; (2.9)
. (2.10)
Дифференцирование левых и правых частей уравнений (2.9) и (2.10) позволяет устранить непростые интегралы в левых частях данных равенств:
; (2.11)
. (2.12)
Дифференцирование уравнения (2.11) по импульсу p и уравнения (2.12) по координате q приводит к следующим равенствам:
; (2.13)
. (2.14)
Полученные выражения с учетом уравнений (2.11) и (2.12) можно представить в упрощенных формах:
; (2.15)
. (2.16)
Отсюда следует, что
; (2.17)
. (2.18)
Далее, в правую часть выражений (2.17) и (2.18) введем обозначения 
и p соответственно. Это и есть искомые операторы импульса и координаты, которые называют эрмитовыми [67]:
; (2.19)
. (2.20)
Следовательно, оператор Гамильтона в уравнении (2.8) имеет вид:
. (2.21)
Отсюда вытекает условие эрмитовости:
. (2.22)
Данное выражение показывает, что результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, или иначе функции φ и коммутативны [68]:
. (2.23)
Тогда как координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют в отличие от выражения (2.23):
. (2.24)
Так же, значение оператора Гамильтона 
позволяет
перейти к так называемым перестановочным соотношениям Иордана-Борна. Так, согласно Дираку [65], разность гейзенберговских произведений двух квантовых величин х и у равна скобке Пуассона этих величин, умноженной на 
:
. (2.25)
Теперь, если же волновая функция ψ зависит явно от времени, т.е. 
, то получаем нестационарное уравнение Шредингера:
. (2.26)
Далее использование скобки Пуассона из перестановочного соотношения Иордана-Борна (2.25) в полученном уравнении позволяет получить выражение (2.26) в виде:
. (2.27)
Согласно Дираку [69], поскольку уравнение (2.27) содержит два неизвестных, то оно не имеет решения даже для атома водорода. В последующие годы при изучении уравнения (2.27) физики нашли способ решения в виде двух задач:
Первая колебательная задача состоит в постулировании содержания волновой функции ψ и использовании матрицы силовых полей, дающих экспериментально энергии;
Вторая задача состоит в постулировании энергии и дальнейшем нахождении функции ψ.
Использование в первой колебательной задаче волновой функции Слейтера-Зинера и потенциалов ионизаций атомов ионов позволило нам теоретически рассчитать ионные радиусы элементов в хорошем соответствии с эмпирическими и полуэмпирическими значениями радиусов ионов по Полингу, Гольдшмидту, Белову-Бокию, Мелвину-Хьюзу и Ингольду [70].