Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Балданова Д М, Танганов Б Б,
4.1. Проводимость систем зарядов в газовой плазме, плазме твердых тел, растворах электролитов и тензор электромагнитного поля
В данном параграфе предлагается вариант решения концептуального единства теории электропроводности растворов электролитов, в основе которой лежит представление об энергии многочастичных взаимодействий через плазменное колебание зарядовой плотности, с теорией проводимости твердых тел. Для этого предлагается четырехмерное уравнение движения зарядов в ковариантной форме, трансформируемое в формулу Друде для проводимостей твердых тел [99].
В качестве исходных предпосылок принимаются эквивалентные представления плотности тока 
через искомую проводимость 
, напряженность внешнего поля 
, число Фарадея 
, скорость движения зарядов 
, плотность носителей тока 
(4.1)
и четырехмерное уравнение движения в ковариантной форме
, (4.2)
где 
– четырехмерная скорость; 
– пространственный интервал, при 
, 
; 
– антисимметрический ковариантный тензор электромагнитного поля, как и четырехмерная скорость 
, определяемая 4-радиусами-векторами 
и 4-векторами 
и 
; 
– 4-импульс.
Согласно равенству (4.1), основной проблемой для нахождения является установление скорости движения зарядов на основе уравнения (4.2). Данное уравнение можно представить в развернутом виде, учитывая при этом, что под дважды повторяющимися немыми индексами подразумевается суммирование:
(4.3)
Для наглядности последующих рассуждений представим тензор в виде матрицы:
, (4.4)
в которой индекс 
= 0, 1, 2, 3 нумерует строки, а индекс 
= 0, 1, 2, 3 – столбцы. Примем, что электрическое поле 
направлено вдоль оси 
, а магнитное 
– вдоль оси 
.
Уравнение (4.3) допускает раздельный анализ для временной координаты = 0 и пространственной = 1, 2, 3. Для первого варианта уравнение (4.3) при 
имеет вид:
. (4.5)
Из матрицы (4.4) видно, что при = 0 магнитное поле отсутствует вообще, а скорость 
направлена вдоль поля 
. Известно, что для 
, где 
– скорость света, возможно разложение величины 
, приведенной выше, в ряд по степеням 
, т.е. справедливо
.
Тогда для истинных траекторий движения зарядов в системе с потенциалом
,
где 
– плотность зарядов; 
– элемент объема, а 
– расстояние от точки наблюдения до 
, в левой части уравнения (4.5) имеет место следующая аппроксимация
, (4.6)
что формализует обобщенный импульс 
[98].
Далее, подставляя уравнение (4.6) в (4.5), при 
и последующем интегрировании выражения
приходим к равенству следующего вида:
По определению 
– это работа электрических сил. Тогда 
является внутренней энергией [100], поскольку левая часть данного равенства представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий. Отсюда, учитывая известное максвелловское распределение по скоростям 
, получаем требуемое выражение для определения скорости движения зарядов:
. (4.7)
Детальное описание величин 
, 
, 
и 
приведено в рабо-
тах [101-103].
Следующий вариант анализа уравнения (4.3) связан с пространственными координатами = 1, 2, 3 при заданной геометрии сил. Выбранные направления электрических и магнитных полей и при = 2 приводят уравнение (4.3) и матрицу (4.4) к следующим видам:
, (4.8)
. (4.9)
Здесь учитывается, что
и 
,
как ковариантные компоненты 4-скорости. Для решения уравнений (4.8) и (4.9) умножаем уравнение (4.8) на мнимую единицу и складываем уравнением (4.9). При этом получается следующее равенство:
, (4.10)
где 
– представляет собой частоту циклотронных колебаний.
Последующий анализ этого равенства дан в [98]. Но если иметь в виду, что «компоненты скорости являются периодическими функциями времени», то в (4.10) возможна стандартная аппроксимация 
. В этом случае после очевидных преобразований имеет место выражение:
. (4.11)
Подставляя данное значение 
в выражение (4.8), получаем следующее равенство:
. (4.12)
Таким образом, найденные значения скоростей (4.7) и (4.12) для временной и пространственных компонент уравнения (2.3), при их последующем использовании в уравнении (4.1), приводит к равенствам:
, (4.13)
. (4.14)
Очевидно, что при 
, имеет место 
, и уравнение (4.14) трансформируется в классическую формулу Друде для проводимостей твердых тел. Наиболее существенным моментом в полученном уравнении (4.14) является то, что данное уравнение при 
обладает сверхпроводи-
мостью [104].
Таким образом, согласно уравнениям (4.13) и (4.14), искомая подвижность для растворов электролитов определяется выражением
, (4.15)
а для твердых тел
. (4.16)