Научная электронная библиотека

Дискретная оптимизация и моделирование в условиях неопределенности данных

Перепелица В. А., Тебуева Ф. Б.,

4.1.1. Проблема неопределенности в реальном математическом моделировании

4.1.1.1. Проблема неточности данных и неопределенности цели

В фундаментальном научном издании [56] отмечено, что даже для установившихся режимов той или иной системы соотношение между источниками ошибки в типичном случае выглядит следующим образом:

1) 82-84 % – из-за неточности исходных данных,

2) 14-15 % – из-за неточности математической модели,

3) 2-3 % – из-за неточности применяемого метода.

Ввиду такой большой доли погрешности исходных данных неизбежно возникает и погрешность в расчете целевой функции моделируемого процесса, что в реальной ситуации приводит к значительной доле неопределенности при выборе оптимального режима работы системы. Отсюда появляется необходимость разработки методов, учитывающих неопределенность исходных данных при решении задач многоуровневого управления эволюционными процессами.

В работах, посвященных этой проблеме (см. [56], [59], [60], [62], [99] и др.), предлагаются различные методы принятия решений в условиях больших ошибок во входных данных. Эти методы можно разделить на две основные группы:

- подавление влияния неточной информации с дальнейшим использованием обычных детерминированных алгоритмов;

- переход при наличии неточной информации на специальные алгоритмы (стохастические, нечеткие, интервальные).

Для первой группы характерным является применение различных методов фильтрации и сглаживания исходной информации, усреднения и взвешивания данных. Применяются также методы восстановления отсутствующих данных, интерполирования и экстраполирования, робастные алгоритмы [96].

К настоящему времени в адрес методов, основанных на методах первой группы, высказано немало обоснованных критических замечаний. Предварительная фильтрация данных, отсечение выбросов и сглаживание оставшихся данных приводят к неадекватности этих данных наблюдаемому процессу по следующим причинам:

- применение процедур сглаживания и отсечения может быть обоснованным только при непосредственном учете специфики наблюдаемого процесса;

- алгоритмы, используемые для реализации методов первой группы, являются достаточно сложными;

- говоря об адекватности допущений, положенных в основу методов первой группы, можно говорить об их эвристическом характере, т.е. отсутствии достаточно строгой обоснованности.

При использовании стохастических моделей возникает ряд принципиальных трудностей, связанных со сложностью получения плотностей распределения вероятностей для параметров модели. Чаще всего эти трудности порождаются известной проблемой, называемой «проблема малых выборок» [24]. Действительно, в реальных ситуациях чаще всего удается обеспечить лишь несколько десятков наблюдений оцениваемого параметра, в то время, как необходимым является количество порядка тысячи и более.

Судя по растущему количеству публикаций, посвященных обсуждаемой проблеме, все большее число исследователей склоняется к тому, что в реальном математическом моделировании наиболее целесообразным подходом можно считать представление исходных данных в виде нечетких множеств [13], [32], [64], [76] или интервальных значений [38], [76]. Выражая принципиальное согласие с этим тезисом, авторы настоящей работы отмечают отсутствие достаточно обоснованных математических методов получения и представления исходных данных в виде нечетких множеств. Правомерность последнего утверждения особенно ярко, на наш взгляд, сформулировал Н.Н. Моисеев в предисловии к книге [58]: «… я хотел бы еще раз подчеркнуть, что техника, развиваемая Л.Заде, основывается на использовании функций принадлежности. Эти функции всегда являются гипотезами! Они дают субъективное представление эксперта (исследователя) об особенностях исследуемой операции, о характере ограничений и целей исследования. Это всего лишь новая форма утверждения гипотез, но она открывает и новые возможности…».

Можно считать несомненным тот факт, что в процессе моделирования сложной системы исследователь должен принимать во внимание не одну цель, а две или больше целей, которые в некотором смысле «равноправны», т.е. в каждой паре целей нет доминируемой и доминирующей. Описать их одним показателем (критерием) невозможно. Конструктору самолета, например, необходимо обеспечить не только безопасность пассажиров, но и минимальную стоимость перелета. Экономисту нужно построить такой план, чтобы «при минимуме затрат добиться максимума выпуска продукции» и т.п., причем, эти требования, как мы видим, часто противоречат друг другу [29].

Легко понять, что свести подобные многокритериальные задачи к точно поставленным задачам классического математического программирования нельзя в принципе. Этот вопрос выходит за рамки области деятельности исследователя в процессе построения математической модели и разработки метода нахождения наилучшего решения.

В условиях многокритериальности в выборе и принятии одного решения заложено противоречие, т.к обязательно найдутся решения, которые по некоторым критериям являются лучше выбранного. Следовательно, указанных противоречий можно избежать лишь в случае, если говорить о нахождении множества «подходящих» решений. Этот тезис первым достаточно четко сформулировал итальянский экономист Вильфредо Парето еще в 1904 году в форме так называемого принципа Парето. Согласно Парето, возможные решения следует искать среди неулучшаемых альтернатив, т.е. альтернатив, улучшение которых по одним критериям приводит к ухудшению по другим критериям [92]. Принцип этот достаточно очевидный и очень важный с чисто прикладной точки зрения: он позволяет, во-первых, сжать множество альтернатив, во-вторых, он демонстрирует те потери, которые имеет оперирующая сторона по тем или иным показателям, стремясь улучшить какой-то определенный показатель [28].

К настоящему времени в рамках дискретной оптимизации можно говорить о самостоятельном направлении дискретного программирования для многокритериальных задач [30], [87]. Однако, пока не известно ни одного эффективного алгоритма решения какой-либо многокритериальной задачи с нечеткими данными.

В самом общем виде математическая постановка дискретной многокритериальной задачи состоит из описания условий, определяющих конечное или счетное МДР и заданной на ВЦФ, которая определяет собой такие множества альтернатив (МА), как ПМ и ПМА . ПМА является обобщением понятия «оптимум», определенного для 1- критериальных, т.е. оптимизационных задач. Для всякой индивидуальной задачи эти МА образуют иерархически упорядоченную цепочку включений . При исследовании какой-либо дискретной многокритериальной задачи в качестве основной математической проблемы обычно рассматривается вопрос построения достаточно эффективного алгоритма нахождения требуемого МА этой задачи.

4.1.1.2. Проблема хаотического поведения эволюционных процессов

Еще в 70-е годы 20-го столетия исследователи эволюционных процессов исходили из того, что есть 2 класса динамических систем. Одни являются детерминированными, например, вращение Луны вокруг Земли. Прогноз их поведения может быть дан на любое желаемое время, например, солнечные затмения можно предсказать на многие тысячи лет вперед. Другие – стохастические, ими занимается теория вероятностей. Типичный пример – бросание костей при игре в нарды: то, что выпадет в этот раз никак не зависит от исходов предыдущих бросаний.

Завершение 20-го столетия ознаменовалось открытием еще одного важного класса эволюционных процессов. Формально эти процессы являютсядетерминированными: точно зная их текущее состояние, можно установить, что произойдет с системой в сколь угодно далеком будущем. Однако, сколь угодно малая неточность в определении начального состояния системы стремительно нарастает и с некоторого времени исследователь теряет возможность что-либо предсказать. В такого рода случаях принято говорить, что система ведет себя хаотически.

Системы с хаотическим поведением вначале были обнаружены в гидродинамике, физике лазеров, химической кинетике, астрофизике, в экологии [94]. Анализ этих явлений позволяет трактовать хаос, как фундаментальное свойство материи [47], [75]. С математической точки зрения хаотический характер поведения тех или других систем непосредственно обусловлен тем, что эволюционирование этих систем является нелинейным (нелинейная динамика). Осознание этого факта привело к тому, что многими исследователями был обнаружен хаотический характер поведения также и экономических детерминированных систем [47], [72], [73], [75]. Важно отметить, что причиной хаотического характера эволюционирования экономических систем могут быть не только экзогенные, но и эндогенные экономические явления [33].

Для иллюстрации последнего утверждения можно рассмотреть предложенную Хаавельмо [4] макроэкономическую модель роста (см. также [33], стр.159), которая имеет следующее дискретное представление: , . При значениях поведение демонстрирует устойчивую периодичность, т.е. ее траектория представляет собой периодические циклы. С ростом значения наблюдается бифуркационный процесс удвоения циклов, а интервал представляет собой область хаоса, характеризуемую появлением несчетного множества периодических траекторий. Иными словами, существует такое несчетное множество начальных условий, при которых траектории флуктуируют в ограниченной области апериодически и непредсказуемо, реализуя некоторый хаотический процесс. Важно отметить, что в рассмотренном детерминированном нелинейном разностном уравнении хаос порождается именно нелинейностью, ибо в линейных разностных уравнениях подобные явления не наблюдаются. Следует отметить дробную фрактальную размерность [73], [86] временных рядов, которые отражают поведение эволюционных систем в случае наличия хаотичности.