Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Лекция 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ

Математические определения геометрических характеристик плоских фигур: статические моменты, осевые моменты инерции и центробежный, полярный момент инерции. Центральные оси. Главные оси. Определение положения центра тяжести элементарных сечений и составленного из элементарных фигур. Нахождение геометрических характеристик сечений относительно центральных осей.  

Различают следующие характеристики сечений: площадь А, статические моменты площади, моменты инерции площади, центробежный момент инерции площади.  

pic_10.tif 

Рис. 10. Площадь А в системе координат х, у

Под статическим моментом площади относительно некоторой оси понимается сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:

3090.png 

Определение центра тяжести сечения. Статические моменты сечения относительно осей проходящих через центр тяжести равны нулю, поэтому их используют для определения координат центров тяжести сечения. Для этого проводят вспомогательные оси x и y и координаты центра тяжести сечения определяют по зависимостям:

3098.png (3)

Моменты инерции сечения. Осевым моментом инерции сечения I называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до оси. Осевые моменты инерции сечения относительно осей x и y будут соответственно равны

3111.png (4)

Полярным моментом инерции сечения Iρ называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.

3118.png (5)

Учитывая, что ρ2 = x2 + y2, получаем Iρ = Ix + Iy.

Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции сечения.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями, осевые моменты инерции относительно их принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

Jρ = Jx + Jy;, (6)

3125.png 

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний (ρ2 = y2 + z2) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Моменты сопротивления. Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

3134.png 

Полярный момент сопротивления

3144.png 

Осевой и полярный моменты сопротивления имеют размерность м3.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

3153.png 

Вычисление геометрических характеристик простых фигур.

Прямоугольное сечение.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.

Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота) (рис. 11). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)равна dA = b•dy. Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:

3164.png 

По аналогии запишем

3181.png 

Круглое сечение

Вначале целесообразно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга Jx = Jy, а Jρ = Jx + Jy, найдем Jx = Jy = Jρ/2.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной dρ и радиусом ρ (рис. 12); площадь такого кольца 1. Подставляя выражение для площади кольца в выражение для Jρ и интегрируя, получим:

3191.png 

3173.png 

Рис. 11. Прямоугольник  

3213.png 

Рис. 12. Круг

Тогда

3204.png   

 


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074