Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

1.3. Зависимость модуля упругости от температур

1.3.1. Результаты расчета модуля упругости моно- и поликристаллов

Известно [41, 42], что технические металлы являются поликристаллами, т.е. состоят из большого числа анизотропных кристаллитов (или монокристаллов). Известно также [41], что упругие характеристики поликристаллов по существу являются усредненными значениями упругих свойств монокристаллов. Однако cведения о возможности определения среднего значения модуля упругости поликристаллов, приведенные в [41], являются лишь теоретическим положением, но не рекомендациями к инженерным расчетам. Какие именно величины усредняются и сколько их, в источнике не указано.

Зная значения модуля упругости монокристалла с учетом анизотропии, можно определить величину модуля упругости для поликристалла этого же металла или его соединения следующим образом.

В соответствии с [43] вначале рассчитывается модуль упругости для наиболее плотноупакованных плоскостей (100), (110), (111) элементарной атомной ячейки монокристалла. Затем рассчитывается модуль упругости поликристалла Eпкр по формуле:

где Е100, Е110, E111 – соответственно модули упругости для плоскостей (100), (110), (111).

Результаты расчета модуля упругости для металлов (табл. 1.7) удовлетворительно сходятся с результатами эксперимента с погрешностью от 0,7 до 9,3 %.

Таблица 1.7

Наименование элемента

Величина модуля упругости поликристалла, ГПа

Расхождение, %

Источник

расчетная

экспериментальная

1

2

3

4

5

Fe

213,8

211 (отожжен.)

223,2

1,3

4,2

[24]

Ni

197,4

196

0,7

[24]

Cr

283,1

288

1,7

[24]

Та

203,3

186

9,3

[24]

Nb

121,6

118,9

2,3

[24]

Мо

298,6

317,8

6

[24]

W

407,9

393,8

3,5

[24]

ZrO2

436,7

NbC

440,4

497,504,518,550

[44], [45]

ТаС

547,2

515, 550, 730

[44]

TiN

440,7

440

[44]

Ni3Al

173

178

[33]

Что касается соединений, то экспериментальные данные различных авторов не совпадают. Это, с одной стороны, может быть объяснено недостаточно хорошей аттестацией образцов, а с другой – методическими недочетами [44, 46]. Поэтому величина расхождения для соединений не рассчитывалась.

1.3.2. Зависимости модуля упругости от температуры для элементов и соединений.

Приведенные в данном разделе таблицы (табл. 1.8–1.26) и графики
(рис. 1.12–1.24) позволяют восполнить недостающие экспериментальные данные результатами расчетов. Здесь E100, E110 , E111 – расчетные значения модуля упругости монокристалла в соответствующих кристаллографических направлениях <100>, <110>, <111>. Экспериментальные значения из справочников обозначены индексами «эксп». Расхождение в процентах – ∆E, %.

Медь Cu

Таблица 1.8

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100

эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

20

90,8

66,7

36,1

136,2

131

3,9

185,2

194

4,5

128,6

129 [24]

0,31

100

89,1

133,7

181,8

127,4

200

86,9

130,3

177,2

125,7

300

84,1

126,2

171,6

123,5

400

80,9

121,3

165,0

120,9

111 [24]

8,9

500

77,2

115,8

157,5

117,8

600

73,2

109,8

149,3

114,3

95 [24]

20,3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

700

68,8

103,2

140,4

110,4

800

64,2

96,3

130,9

106,1

900

59,4

89,1

121,1

101,4

1000

54,4

81,6

111,0

96,4

65 [24]

48,3

Рис. 1.12. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла меди Cu:
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111>; 4 – модуль упругости поликристалла

Рис. 1.13. Температурная зависимость модуля упругости поликристалла меди Cu:
1 – расчетные значения; 2 – экспериментальные значения [24]

Из табл. 1.8 и рис. 1.12, 1.13 видно, что значительный объем недостающих экспериментальных данных восполняется расчетными данными, имеющими удовлетворительную сходимость.

Необходимо отметить, что с увеличением температуры расхождение возрастает. Это связано с тем, что в элементах, имеющих невысокую температуру плавления (Cu, Al и др.), начинаются процессы разрушения кристаллической решетки под воздействием температуры, близкой к температуре плавления, что не учитывается данной моделью.

Алюминий Al

Таблица 1.9

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

20

47,7

62,5

23,7

71,5

71,4

0,1

97,3

75,1

29,6

72,2

70,8 [24]

2,0

100

47,1

70,6

96,0

71,3

200

46,2

69,4

94,3

70,0

63,8 [24]

9,7

300

45,2

67,8

92,1

68,4

400

43,9

65,8

89,5

66,4

54,9 [24]

20,9

500

42,3

63,5

86,4

64,1

600

40,6

60,9

82,8

61,4

49,2 [24]

24,8

700

38,7

58,0

78,9

58,5

800

36,6

54,9

74,6

55,3

900

34,3

51,4

70,0

51,9

1000

31,9

47,8

65,0

48,3

Рис. 1.14. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла алюминия Al:
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111>; 4 – модуль упругости поликристалла

Рис. 1.15. Температурная зависимость модуля упругости поликристалла алюминия Al:
1 – расчетные значения; 2 – экспериментальные значения [24]

Никель Ni

Таблица 1.20

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

20

140,6

138,0

1,8

210,9

215,0

1,9

286,7

262,0

9,4

212,7

196[24]

8,5

100

138,0

207,0

281,5

208,8

200

134,6

201,9

274,6

203,7

300

130,5

195,7

266,1

197,4

360

 

 

 

194

187[24]

3,7

400

125,6

188,3

256,1

190,0

500

120,0

180,0

244,8

181,6

600

113,9

170,9

232,3

172,4

700

107,3

160,9

218,8

162,3

800

100,3

150,4

204,5

151,7

900

92,9

139,4

189,5

140,6

1000

85,386

128,1

174,1

129,2

1100

77,7

116,6

158,5

117,6

1200

70,0

105,1

142,8

106,0

1300

62,4

93,7

127,4

94,5

1400

55,0

82,5

112,2

83,3

1500

47,9

71,8

97,7

72,5

Рис. 1.16. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла никеля Ni:
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111>; 4 – модуль упругости поликристалла

Рис. 1.17. Температурная зависимость модуля упругости поликристалла никеля Ni:
1 – расчетные значения; 2 – экспериментальные значения [24]

Ниобий Nb

Таблица 1.21

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

20

51,9

134,7

155,1

113,9

119[24]

4,3

100

51,5

133,9

154,2

113,2

200

51,0

132,6

152,7

121,1

300

51,4

131

150,8

110,7

400

49,6

129

148,5

109

108[24]

0,9

500

48,7

126,6

145,7

107

600

47,7

123,8

142,5

104,7

700

46,5

120,7

139

102

800

45,1

117,2

135

99,1

900

43,7

113,4

130,6

95,9

1000

42,1

109,3

125,9

92,5

1100

40,4

105

120,9

88,7

1200

38,6

100,3

115,5

84,8

73,5[24]

15,4

1300

36,7

95,4

109,9

80,7

1400

34,8

90,3

104

76,4

Рис. 1.18. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла ниобия Nb:
1 –модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111>; 4 – модуль упругости поликристалла

Рис. 1.19. Температурная зависимость модуля упругости поликристалла ниобия Nb:
1 – расчетные значения; 2 – экспериментальные значения [24]

Карбид ниобия NbC

Таблица 1.22

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

20

621,5

466,2

485,9

524,5

540

3

100

619,3

464,8

484,5

522,9

200

616,4

462,9

482,6

520,6

300

612,7

460,5

480

517,7

400

608,3

457,5

476,9

514,2

500

603,2

454

473,2

510,1

600

597,3

449,9

469

505,4

700

590,8

445,3

464,2

500,1

730

 

 

 

 

500

800

583,6

440,2

458,8

494,2

900

575,7

434,5

453

487,7

1000

567,1

428,4

446,6

480,7

1100

557,9

421,8

439,7

473,1

1200

548,1

414,7

432,3

465

1230

 

 

 

 

470

1300

537,7

407,1

424,4

456,4

1400

526,7

399,1

416

447,3

1500

515,1

390,6

407,2

437,6

Рис. 1.20. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла карбида ниобия NbC:
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111> ; 4 – модуль упругости поликристалла

Рис. 1.21. Температурная зависимость модуля упругости поликристалла карбида ниобия NbC:
1 – расчетные значения; 2 – экспериментальные значения [44]

Вольфрам W

Таблица 1.23

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

20

323,8

389

16,8

420,6

389

8,1

484,3

389

24,5

409,6

393,8[24]

4

100

323,1

419,6

483,2

408,6

200

322

418,2

481,5

407,2

300

320,5

416,3

479,4

405,4

400

318,7

414

476,7

403,2

500

316,6

411,3

473,5

400,5

600

314,1

408,1

469,8

397,3

700

311,3

404,4

465,6

393,8

800

308,2

400,4

461

389,8

371 [24]

5,1

900

304,8

395,5

455,8

385,5

1000

301

391

450,2

380,7

1100

296,6

385,7

444

375,5

1200

292,5

380

437,5

370

1300

287,8

373,9

430,5

364

1400

282,8

367,4

423

357,7

1500

277,6

360,5

415,1

351,1

Рис. 1.22. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла вольфрама W:
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111>; 4 – модуль упругости поликристалла

График температурной зависимости модуля упругости поликристалла вольфрама W приведен в разделе 1.1, см. рис. 1.8.

Силицид ниобия Nb5Si3

Таблица 1.24

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

20

406,7

154,5

169,0

100

405,6

154,1

168,5

200

404,6

153,6

167,9

300

403,6

153,1

167,4

400

402,5

152,7

166,8

500

401,4

152,2

166,3

600

400,3

151,7

165,7

700

399,2

151,1

165,1

800

398,1

150,6

164,4

900

396,9

150,0

163,8

1000

395,7

149,4

163,1

1100

394,5

148,8

162,3

1200

393,2

148,1

161,5

1300

319,8

147,3

160,7

1400

390,4

146,5

159,7

Рис. 1.23. Температурная зависимость модуля упругости монокристалла
пентаниобия трисилицида Nb5Si3:
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3 – модуль упругости в направлении <111>; 4 – модуль упругости поликристалла

Композиция Nb–Nb5Si3

Таблица 1.25

Ψ

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

0,05

69,7

135,7

155,8

0,1

87,5

136,7

156,5

0,15

105,2

137,7

157,2

0,2

122,9

138,7

157,9

0,25

140,7

139,7

158,6

0,3

158,4

140,6

159,3

0,35

176,1

141,6

160,0

0,4

193,9

142,6

160,7

0,45

211,6

143,6

161,4

0,5

229,3

144,6

162,1

0,55

247,1

145,6

162,7

0,6

264,8

146,6

163,4

0,65

282,5

147,6

164,1

0,7

300,3

148,6

164,8

0,75

318,0

149,6

165,5

Рис. 1.24. Зависимость модуля упругости композита Nb–Nb5Si3
от объемной доли y (при t = 20 °C):
1 – модуль упругости в направлении <100>; 2 – модуль упругости в направлении <110>;
3– модуль упругости в направлении <111>

Алюминид никеля Ni3Al

Таблица 1.26

Температура, °C

Величина параметра в зависимости от температуры

E100, ГПа

E100 эксп., ГПа

∆E, %

E110, ГПа

E110 эксп., ГПа

∆E, %

E111, ГПа

E111 эксп., ГПа

∆E, %

Eполи, ГПа

Eполи эксп., ГПа

∆E, %

0

114,2

171,3

232,9

230

1,3

172,8

178

3,3

100

113,3

170,0

234,1

171,5

200

112,1

168,1

228,6

169,6

300

110,5

165,7

225,3

167,2

400

108,6

162,8

221,4

164,3

500

106,3

159,4

216,7

160,8

600

103,7

155,5

211,4

156,9

700

100,7

151,1

205,5

152,4

800

97,5

146,3

198,9

215

7,5

147,6

900

94,0

141,0

191,7

210

8,7

142,2

1000

90,2

135,3

184,0

155

18,7

136,5

1100

86,2

129,3

175,8

120

46,5

130,4

1200

81,9

122,9

167,1

80

108,9

124,0

1300

77,5

116,2

158,0

117,2

1400

72,8

109,2

148,5

110,2

1500

68,0

102,0

138,7

102,9

Из табл. 1.26 видно, что величина расхождения при температурах 1100 и 1200 °С возрастает с 46,5 до 108,9 %. Это объясняется тем, что модель не учитывает изменения в структуре при предельных температурах.

График температурной зависимости модуля упругости монокристалла приведен в п. 1.1, см. рис. 1.6. Экспериментальные значения – из работы [30].

Приведенные данные показывают, что:

1. Значительный объем недостающих экспериментальных данных восполняется расчетными данными, имеющими удовлетворительную сходимость.

2. Результаты расчетов модуля упругости применимы для оценки упругих характеристик поликристаллов, в том числе и для соединений, модули упругости которых редко или совсем не встречаются в справочной литературе.

3. Результаты расчетов модуля упругости применимы для проектирования композитных материалов, используемых в газотурбинных двигателях

4. Для элементов 1–3 группы таблицы Д.И. Менделеева с увеличением температуры расхождение возрастает. Это связано с тем, что в этих элементах, имеющих невысокую температуру плавления (Cu, Al и др.), начинаются процессы разрушения кристаллической решетки под воздействием температуры, близкой к температуре плавления, что не учитывается данной моделью.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074