Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

1.4. Модель распространения колебаний в кристаллах

Явление распространения колебаний в твердых телах, в частности в кристаллах, имеет большое практическое значение в технике. С ним связаны процессы распространения колебаний в кристаллах и теплопроводность.

В данном разделе рассматривается модель скорости распространения колебаний (фазовой скорости) в монокристаллах.

Допущения.

1. Рассматривается неподвижная кристаллическая решетка, принятая в кристаллографии.

2. Не учитывается факт, что атомы являются осцилляторами.

3. Решается статическая задача из условия равновесия кулоновских сил притяжения и отталкивания между двумя ближайшими зарядами в элементарной атомной ячейке монокристалла.

4. Вследствие симметрии и периодичности бездефектного монокристалла свойства ячейки передаются макрообъему.

Скорость распространения колебаний в монокристаллах определяется по формуле, выведенной автором [20], из условия равенства кинетической энергии колебания атома Uкин относительно узла кристаллической решетки

(1.14)

вызванной внешним воздействием (например, тепловым), с одной стороны, и энергии электростатического противодействия атома Uэл внешнему воздействию, с другой стороны,

(1.15)

где , кг – масса атома; mA – атомная масса химического элемента; u – скорость передачи колебаний от одного атома к другому (фазовая скорость); e – элементарный заряд, равный заряду электрона; r – расстояние между ближайшими атомами – соседями; p = 3,14; ε0 – электрическая постоянная.

Тогда можно записать

Откуда скорость распространения колебаний u в моно- и поликристаллах [20]

(1.16)

Следует отметить, что соотношение (1.16) характеризует скорость распространения колебаний между двумя соседними зарядами в элементарной атомной ячейке кристаллической решетки.

В частности, для никеля с гранецентрированной кристаллической решеткой м. После подстановки е = 1,609⋅10–19 Кл и m = 58,7 (атомной массы никеля) получим значение скорости распространения колебаний в моно- или поликристалле никеля Ni, равное 4380 м/с.

Результаты некоторых расчетов сведены в табл. 1.27.

Таблица 1.27

Результаты расчета скорости распространения колебаний

Символ
элемента

Величина скорости, м/с

Расхождение в % для

расчетная

справочная [46]

υ1

υ2

υ3

υ1

υ2

υ3

Al

5991

6601

3103

5092

9,2

Ni

4380

5413

2979

4785

8,5

Ag

2983

3732

1699

2806

6,3

Cu

4131

4702

2257

3711

11,3

W

2345

5141

2794

4491

16

Pb

1955

2137

6993

1187

8,5

Ir

4790

5341

3041

4828

0,7

Au

2209

3084

1204

2023

9,2

Ta

2314

4286

2059

3137

12,4

Из таблицы видно, что расчетная величина скорости распространения колебаний для никеля Ni составляет 4380 м/с, а справочное значение [46] для υ3 = 4785 м/с. В таблице приведены минимальные расхождения с расчетом. Поэтому по результатам сравнительного анализа можно заключить, посредством каких волн распространяются колебания в данном химическом элементе. В частности, для алюминия – это продольные волны, так как минимальное расхождение, соответствующее υ1, составляет 9,2 %. А для никеля – продольные и поперечные волны с расхождением 8,5 %.

Расчет скорости распространения колебаний в монокристаллах необходим, в частности, для определения коэффициента теплопроводности.

Формула расчета коэффициента теплопроводности выводится в следующей последовательности [19].

Известно, что перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье [47]:

где j – плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты Q в единицу времени t через единичную площадку A, перпендикулярную оси x; l – коэффициент теплопроводности; – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины x в направлении нормали к этой площадке.

Исходя из определения, закон Фурье можно записать в следующем виде:

откуда

где , – теплоемкость одного атома, или

Допущения.

1. Рассматривается элементарная ячейка монокристалла в виде куба со стороной, равной периоду кристаллической решетки а.

2. В качестве единичной площадки принимается .

3. Единица времени t в элементарном объеме не равна одной секунде τ ≠ 1 с,

тогда время процесса передачи колебаний между двумя атомами в ячейке можно определить по формуле τ = Δx/υ, где ∆x – расстояние между ближайшими соседями атомами.

4. Колебания в ячейке атома распространяются в наиболее плотноупакованных плоскостях (рис. 1.1). В пределах одной кристаллографической плоскости могут распространяться одна или две плоские волны: продольная и (или) поперечная.

5. Теплоемкость одного атома – постоянная величина и определяется в соответствии с законом Дюлонга и Пти, т.е.

Дж/К,

где NA – число Авогадро; k – постоянная Больцмана.

В общем случае теплоемкость одного атома зависит от температуры.

6. Коэффициент теплопроводности характеризует передачу тепла. Тепло в кристалле передается за счет кинетической энергии колебаний атомов в кристаллической решетке равной (mυ2)/2. Иначе говоря, в формуле расчета коэффициента теплопроводности необходимо учитывать массу. Масса учитывается через атомную массу элемента mА и коэффициент ретикулярной плотности kр элементарной
атомной ячейки.

С учетом перечисленных допущений формула расчета коэффициента теплопроводности для монокристаллов примет следующий вид [19]:

(1.17)

Результаты расчетов для некоторых металлов сведены в табл. 1.28.

Итоговое значение l оценивается, в частности, как сумма l для плотноупакованных плоскостей ячейки, либо как половина среднего значения λ в соответствии с четвертым допущением. Справочные значения в таблице приведены из справочника [24].

Из таблицы видно, что расчетная величина коэффициента теплопроводности для меди Cu составляет 406 Вт/м⋅К, а справочное значение – 401,2 Вт/м⋅К [24], расхождение – 1,2 %.

Таблица 1.28

Результаты расчета коэффициента теплопроводности

Обозначение хим. элемента

Расчетное значение l, в зависимости от кристаллографического направления, Вт/(м·К)

Результирующие значения λрасч, Вт/(м·К)

Справочное значение λ, Вт/(м·К)

Расхождение, %

Cu

117,68

176,53

112,1

406

401,2

1,2

Ag

112,9

169,4

107,57

390

453

13,9

Al

57,76

86,64

55,02

199,4

221,5

9,9

Cr

69,068

207,2

168,8

74,2

88,6

16,2

Fe

72,67

218

177,6

78

75,8

2,9

Ni

120,59

180,89

114,8

69,4

67

3,6

Rh

131,878

197,81

125,6

75,9

87,8

13,6

Pd

126,98

190,5

120,96

73,8

72,1

2,3

W

102,9

308,77

251,6

154,3

154

0,2

Pb

96,81

145,22

92,2

72,6

72,1

0,7

Ta

91,82

275,5

224,5

45,9

45,2

1,5

V

60,57

181,7

148,1

30,3

31

2,3

Таким образом, удовлетворительная сходимость расчета с экспериментальными данными, полученными другими авторами, подтверждается адекватностью разработанной модели.

Результаты оценки коэффициента теплопроводности являются исходными данными для расчета напряженно-деформированного состояния рабочей лопатки турбины, изготовленной из монокристаллических сплавов и эвтектических композитов.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074