Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ОТ ЧЕТЫРЕХ К ОДНОМУ. СИЛЫ ВНУТРИАТОМНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ

Бадамшин И Х,

1.4. Модель распространения колебаний в кристаллах

Явление распространения колебаний в твердых телах, в частности в кристаллах, имеет большое практическое значение в технике. С ним связаны процессы распространения колебаний в кристаллах и теплопроводность.

В данном разделе рассматривается модель скорости распространения колебаний (фазовой скорости) в монокристаллах.

Допущения.

1. Рассматривается неподвижная кристаллическая решетка, принятая в кристаллографии.

2. Не учитывается факт, что атомы являются осцилляторами.

3. Решается статическая задача из условия равновесия кулоновских сил притяжения и отталкивания между двумя ближайшими зарядами в элементарной атомной ячейке монокристалла.

4. Вследствие симметрии и периодичности бездефектного монокристалла свойства ячейки передаются макрообъему.

Скорость распространения колебаний в монокристаллах определяется по формуле, выведенной автором [20], из условия равенства кинетической энергии колебания атома Uкин относительно узла кристаллической решетки

(1.14)

вызванной внешним воздействием (например, тепловым), с одной стороны, и энергии электростатического противодействия атома Uэл внешнему воздействию, с другой стороны,

(1.15)

где , кг – масса атома; mA – атомная масса химического элемента; u – скорость передачи колебаний от одного атома к другому (фазовая скорость); e – элементарный заряд, равный заряду электрона; r – расстояние между ближайшими атомами – соседями; p = 3,14; ε0 – электрическая постоянная.

Тогда можно записать

Откуда скорость распространения колебаний u в моно- и поликристаллах [20]

(1.16)

Следует отметить, что соотношение (1.16) характеризует скорость распространения колебаний между двумя соседними зарядами в элементарной атомной ячейке кристаллической решетки.

В частности, для никеля с гранецентрированной кристаллической решеткой м. После подстановки е = 1,609⋅10–19 Кл и m = 58,7 (атомной массы никеля) получим значение скорости распространения колебаний в моно- или поликристалле никеля Ni, равное 4380 м/с.

Результаты некоторых расчетов сведены в табл. 1.27.

Таблица 1.27

Результаты расчета скорости распространения колебаний

Из таблицы видно, что расчетная величина скорости распространения колебаний для никеля Ni составляет 4380 м/с, а справочное значение [46] для υ3 = 4785 м/с. В таблице приведены минимальные расхождения с расчетом. Поэтому по результатам сравнительного анализа можно заключить, посредством каких волн распространяются колебания в данном химическом элементе. В частности, для алюминия – это продольные волны, так как минимальное расхождение, соответствующее υ1, составляет 9,2 %. А для никеля – продольные и поперечные волны с расхождением 8,5 %.

Расчет скорости распространения колебаний в монокристаллах необходим, в частности, для определения коэффициента теплопроводности.

Формула расчета коэффициента теплопроводности выводится в следующей последовательности [19].

Известно, что перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье [47]:

где j – плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты Q в единицу времени t через единичную площадку A, перпендикулярную оси x; l – коэффициент теплопроводности; – градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины x в направлении нормали к этой площадке.

Исходя из определения, закон Фурье можно записать в следующем виде:

откуда

где , – теплоемкость одного атома, или

Допущения.

1. Рассматривается элементарная ячейка монокристалла в виде куба со стороной, равной периоду кристаллической решетки а.

2. В качестве единичной площадки принимается .

3. Единица времени t в элементарном объеме не равна одной секунде τ ≠ 1 с,

тогда время процесса передачи колебаний между двумя атомами в ячейке можно определить по формуле τ = Δx/υ, где ∆x – расстояние между ближайшими соседями атомами.

4. Колебания в ячейке атома распространяются в наиболее плотноупакованных плоскостях (рис. 1.1). В пределах одной кристаллографической плоскости могут распространяться одна или две плоские волны: продольная и (или) поперечная.

5. Теплоемкость одного атома – постоянная величина и определяется в соответствии с законом Дюлонга и Пти, т.е.

Дж/К,

где NA – число Авогадро; k – постоянная Больцмана.

В общем случае теплоемкость одного атома зависит от температуры.

6. Коэффициент теплопроводности характеризует передачу тепла. Тепло в кристалле передается за счет кинетической энергии колебаний атомов в кристаллической решетке равной (mυ2)/2. Иначе говоря, в формуле расчета коэффициента теплопроводности необходимо учитывать массу. Масса учитывается через атомную массу элемента mА и коэффициент ретикулярной плотности kр элементарной
атомной ячейки.

С учетом перечисленных допущений формула расчета коэффициента теплопроводности для монокристаллов примет следующий вид [19]:

(1.17)

Результаты расчетов для некоторых металлов сведены в табл. 1.28.

Итоговое значение l оценивается, в частности, как сумма l для плотноупакованных плоскостей ячейки, либо как половина среднего значения λ в соответствии с четвертым допущением. Справочные значения в таблице приведены из справочника [24].

Из таблицы видно, что расчетная величина коэффициента теплопроводности для меди Cu составляет 406 Вт/м⋅К, а справочное значение – 401,2 Вт/м⋅К [24], расхождение – 1,2 %.

Таблица 1.28

Результаты расчета коэффициента теплопроводности

Таким образом, удовлетворительная сходимость расчета с экспериментальными данными, полученными другими авторами, подтверждается адекватностью разработанной модели.

Результаты оценки коэффициента теплопроводности являются исходными данными для расчета напряженно-деформированного состояния рабочей лопатки турбины, изготовленной из монокристаллических сплавов и эвтектических композитов.