Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.2. Экспериментальное исследование погрешностей моделирования

Проведем исследование погрешностей цифрового фильтра, описываемого разностным уравнением (1.105) [89]. Одним из основных параметров численной модели является период дискретизации, который влияет как на погрешность моделирования, так и на чувствительность к устойчивости численной модели. Для устойчивости численного моделирования необходимо, чтобы значения модулей полюсов передаточной функции W(z) были меньше единицы. Так, например, при уменьшении периода дискретизации погрешность моделирования уменьшается, но, в тоже время, увеличивается чувствительность к неустойчивости решения и объем обрабатываемой информации [76]. Кроме того, погрешность моделирования и чувствительность к устойчивости z-форм зависят от моделируемого объекта, а именно для колебательного звена от параметра затухания, поэтому исследуем влияние параметра затухания и периода дискретизации на погрешность численного моделирования.

В качестве примера на рис. 3.1 и 3.2 представлены графики переходного процесса тока в цепи с последовательным соединением R, L, C элементов при численном моделировании с помощью операторно-дискретного метода [87]. Уравнения моделируемых переходных процессов для апериодического и колебательного режимов имеют следующий вид:

Рис. 3.1. Графики свободной составляющей и погрешностей в z-ветви
при апериодическом характере переходного процесса

Обычно в теории автоматического управления для оценки погрешности временной выходной функции используется методика интегральных квадратичных оценок [52], требующая вычислений в каждом такте временной функции. Из результатов ранее проведенных исследований следует, что вид функции ошибок совпадает с видом моделируемой функции [87], поскольку эти функции имеют общие корни характеристического уравнения.

Из представленных графиков абсолютных погрешностей (в масштабе k) тока в цепи следует, что вид графиков погрешностей совпадает с видом моделируемых функций. По этой причине нет необходимости проводить интегральные квадратичные оценки погрешности по большому количеству точек и при исследовании можно ограничиться одной максимальной погрешностью, то есть погрешностью в одной точке, что значительно сокращает объем вычислений. На основании проведенных исследований установлено, что результаты, полученные по упрощенной методике, полностью совпадают с результатами, полученными с помощью методики интегральных квадратичных оценок.

В источнике [76] приведены результаты исследования влияния параметра затухания на погрешность моделирования переходной функции с помощью следующих методов: прямой разности; обратной разности, метода трапеций и операторно-дискретного метода. Эти исследования были выполнены при ограниченном числе значений (параметров) ξ и с. Для получения более полной информации о точности моделирования необходимы зависимости погрешностей численных методов от с при различных значениях ξ в их предполагаемых диапазонах. Для вычисления погрешности при заданных параметрах ξ и с необходимо определить переходную функцию с помощью численного метода и сравнить ее с точным решением, полученным аналитически. Далее этого необходимо вычислять значения максимальной абсолютной погрешности для каждого значения с всего диапазона при одном значении параметра ξ. Затем необходимо выполнить эту операцию для другого значения ξ и по полученным значениям построить семейство графиков δ = f(с) при различных значениях ξ.

Рис. 3.2. Графики свободной составляющей и погрешностей в z-ветви
при колебательном характере переходного процесса

Рис. 3.3. Графики свободных составляющих тока в z-ветви

Графики свободных составляющих тока, полученные классическим методом, методами прямой, обратной разности, методом трапеций визуально совпадают (рис. 3.3). На рис. 3.4 представлены графики абсолютных погрешностей моделирования с помощью указанных методов.

Рис. 3.4. Графики абсолютных погрешностей свободных составляющих тока в z-ветви, полученные численными методами расчета

Аналитическое выражение тока в z-ветви, его z-изображения и значения максимальной погрешности Δimax при различных методах моделирования занесены в табл. 3.1.

Таблица 3

Аналитическое выражение тока в z-ветви, его z-изображения и значения максимальной погрешности Δimax при различных методах моделирования

п/п

Методы расчета

Аналитическое выражение тока i(t) и его z-изображения I(z)

imax

1

Классический метод

i(t) = 1,291·10–3·(e–11270·te–88730·t)

2

Прямая разность

4,247·10–5

3

Обратная разность

8,144·10–5

4

Метод трапеций

1,863·10–5

5

Операторно-дискретный метод

1,639·10–5

Из проведенного выше описания следует, что моделирование отдельных этапов и обобщение их результатов является довольно трудоемкой операцией. Поэтому для решения этой задачи была разработана компьютерная программа, позволяющая выполнять все выше перечисленные операции и представить результаты в компактной форме. Данная компьютерная программа позволяет получать численно значения импульсной или переходной характеристик с помощью трех видов аппроксимации, таких как прямая разность, обратная разность, метод трапеций и операторно-дискретного метода, сравнивать численное решение с точным и вычислять максимальные абсолютные погрешности при различных параметрах численной модели.

Работа программы начинается с ввода исходных данных, а именно диапазонов изменения и шагов моделирования для с и ξ, значения периода собственных колебаний Т0 и временного диапазона моделирования (0; Tmax). Для вычисления погрешностей численного моделирования предварительно определяется точное решение этой задачи. Дискретная переходная характеристика определяется с помощью рекуррентной формулы по коэффициентам числителя и знаменателя передаточной функции и при численном задании входного воздействия.

Выражения дискретных передаточных функций получены с помощью указанных методов z-моделирования и представлены в табл. 3.1, по которым определяются коэффициенты числителя и знаменателя а0, а1, а2, b0, b1, b2. Для каждого значения с при минимальном значении ξmin определяется дискретная переходная характеристика и погрешность численного решения. Из значений абсолютной погрешности всего временного диапазона выбирается и запоминается максимальное значение. По сохраненным значениям строится зависимость погрешности от относительного периода дискретизации. Затем эта операция осуществляется для каждого значения ξ < ξmax. Результаты численного моделирования представляются в виде таблиц в программе Excel, по которым осуществляется построение графических зависимостей.

Анализ функциональных зависимостей погрешностей моделирования от относительного периода дискретизации и параметров передаточной функции позволяет выявлять причины возникновения погрешностей и выбирать параметры численных моделей, а также решать вопрос о применимости метода для решения конкретной задачи.

На рис. 3.5 представлены графические зависимости максимальных абсолютных погрешностей моделирования от относительного периода дискретизации. Анализ зависимостей погрешностей в большом диапазоне значений позволит получить вывод об устойчивости численных решений.

а б

в г

Рис. 3.5. Зависимости δ = f(c) (0 < c < 1)
для различных значений ξ, полученные методами:
а – прямой разности; б – обратной разности;
в – трапеций; г – операторно-дискретным

Из анализа графиков следует, что при некоторых значениях с зависимости имеют расходящийся колебательный характер, что является признаком неустойчивости. Поэтому по этим графикам можно определять области устойчивости для параметра с. Из анализа графиков (рис. 3.5, а, б)
следует, что при моделировании колебательного звена без затухания (ξ = 0) наблюдается резкое увеличение погрешности при ограниченном диапазоне с, особенно при использовании методов прямой и обратной разностей. Графики погрешностей (рис. 3.5, в, г) имеют признаки неустойчивости, но имеют больший диапазон устойчивости в сравнении с предыдущими методами. Необходимо отметить, что при ξ → 1 уменьшаются погрешности для всех методов моделирования в широком диапазоне с. Из анализа графических зависимостей следует, что при моделировании колебательных звеньев с малым значением коэффициента затухания (ξ → 1) целесообразно использовать операторно-дискретный метод, который по сравнению с другими методами не требует жестких условий к выбору относительного периода дискретизации.

На рис. 3.6 показаны зависимости, позволяющие количественно оценить погрешности моделирования при использовании различных методов. При этом значения относительного периода дискретизации были заданы в диапазоне практического использования c = 0...0,1.

а б

в г

Рис. 3.6. Зависимости δ = f(c) (0 < c < 1)
при различных ξ, полученные методами:
а – прямой разности; б – обратной разности;
в – трапеций; г – операторно-дискретным методом

Из сравнения погрешностей различных методов следует, что минимальные погрешности моделирования обеспечивают только два метода: метод трапеций и операторно-дискретный метод. Наибольшие погрешности имеет метод прямой разности. Так, например, методами прямой и обратной разностей моделировать колебательное звено без затухания (ξ = 0) можно только в очень ограниченном диапазоне с (рис. 3.6, а, б).

Из анализа погрешностей методов прямой и обратной разностей (рис. 3.6 а, б) следует, что погрешность моделирования метода
обратной разности меньше погрешности метода прямой разности при соответствующих значениях ξ. Анализ графиков (рис. 3.6, в, г), полученных с помощью метода трапеций и операторно-дискретного метода показывает, что эти методы позволяют, в сравнении с предыдущими методами, расширить диапазон выбора с при ξ = 0. Наименьшую погрешность имеет операторно-дискретный метод (рис. 3.6, г), который позволяет моделировать колебательный режим даже при ξ = 0, несколько большие погрешности имеет метод Тустена (рис. 3.6, в), однако формула перехода от непрерывной функции к импульсной функции для метода Тустена несколько сложнее. Из вышеприведенного анализа следует, что при моделировании колебательных звеньев целесообразно использовать операторно-дискретный метод, который не предъявляет жестких условий к выбору значений с. Наибольшие значения погрешностей по сравнению с другими методами имеет метод прямой разности и поэтому этот метод не целесообразно использовать при моделировании. При обработке результатов экспериментальных исследований были использованы методы математической статистики [34]. На рис. 3.6 приведены графики математических ожиданий исследуемых функциональных зависимостей, максимальные значения среднеквадратических отклонений не превышали 5 % от максимального значения функций во всех исследованиях.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074