Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
3.3. Определение параметров численных моделей по требованиям устойчивости и точности
При выборе метода численного моделирования для конкретной задачи необходима информация о потенциальных возможностях каждого метода, а именно о погрешностях численного моделирования и чувствительности метода к устойчивости решения. На основе проведенных исследований предложена методика определения параметров численной модели, удовлетворяющих требованиям устойчивости и точности (рис. 3.7).
На рис. 3.8 проиллюстрирована методика выбора диапазона относительного периода дискретизации Δс по совмещенным характеристикам δ = f(c) (график 1) и |z| = f(c) (график 1′) на примере операторно-дискретного метода [89]. Выбранный диапазон Δс обеспечивает некоторый запас по устойчивости и допустимую погрешность моделирования. Для этого в одной системе координат построены зависимости δ = f(c) (график 1) и |z| = f(c) (график 1′).
На графике функции |z| = f(c) выбрана область значений шириной Δ|z| вблизи границы устойчивости, при которых возможно получение неустойчивого решения. Ширина Δ|z| определяется погрешностью вычислений. Пересечение графика с нижней границей области определяет минимальное значение c.
Рис. 3.7. Методика выбора относительного периода дискретизации Δс
по совмещенным характеристикам δ = f(c) и |z| = f(c)
Рис. 3.8. Пример выбора относительного периода дискретизации Δс
по совмещенным характеристикам δ = f(c) и |z| = f(c)
Для графика функции δ = f(c) выбрана область предельной погрешности численного метода δпр, пересечение графика с верхней границей области позволяет выбрать максимальное значение с. Совмещенные характеристики δ = f(c) и |z| = f(c) получены операторно-дискретным методом при ξ = 0,1; Δ|z| = 0,001; δпр = 0,001.
Предложенная методика, использующая совмещенные характеристики, позволяет определить диапазоны относительного периода дискретизации Δс при заданном параметре ξ, при которых численное решение устойчиво и обеспечивает требуемую точность моделирования. В табл. 3.2 указаны диапазоны относительного периода дискретизации, полученные для различных методов аппроксимации при Δ|z| = 0,001, δпр = 0,001 и нескольких значениях параметра затухания.
Из анализа результатов исследования, представленных в табл. 3.2 следует, что при условии ξ ≤ 0,1 методы прямой и обратной разностей неприменимы, и в этом случае необходимо использовать метод трапеций или операторно-дискретный метод. Результаты исследования могут быть также представлены семейством графиков c = f(ξ) при заданной погрешности δ (рис. 3.9). Эта форма удобна для практического использования, так как по заданным значениям δ и ξ может быть определено значение с.
Таблица 3.2
Диапазоны значений с при различных ξ для указанных методов аппроксимации
|
ξ = 0 |
ξ = 0,1 |
ξ = 0,2 |
ξ = 0,3 |
|
|
Метод прямой разности |
– |
– |
0,0049 ≤ c ≤ 0,029 |
0,0032 ≤ c ≤ 0,1 |
|
Метод обратной разности |
– |
– |
0,0048 ≤ c ≤ 0,057 |
0,0032 ≤ c ≤ 0,1 |
|
Метод Тустена |
– |
0,0096 ≤ c ≤ 0,1 |
0,0048 ≤ c ≤ 0,1 |
0,0032 ≤ c ≤ 0,1 |
|
Операторно-дискретный метод |
– |
0,0095 ≤ c ≤ 0,078 |
0,0048 ≤ c ≤ 0,1 |
0,0032 ≤ c ≤ 0,1 |
На рис. 3.10 в качестве примера приведен график c = f(ξ) для операторно-дискретного метода при δ = 0,001, Δ|z| = 0,001, построенный по нескольким точкам с помощью аппроксимации по методу наименьших квадратов уравнением c = 9,527·10–4/ξ.
Выводы. На основе исследования причин формирования погрешностей численного метода формализован процесс количественного анализа погрешностей, что позволило разработать компьютерную программу, которая определяет погрешности моделирования по заданным параметрам. С помощью компьютерной программы проведено исследование погрешностей численного моделирования динамического звена для различных методов аппроксимации, из которого следует, что погрешность операторно-дискретного метода во всем диапазоне значений ξ и с минимальна и не превышает 1 %.
Рис. 3.9. Зависимость c = f(ξ) для операторно-дискретного метода
при δ = 0,001, Δ|z| = 0,001
На основе проведенных исследований выявлено, что диапазон значений периода дискретизации численной модели, обеспечивающих устойчивость и заданную погрешность, ограничен и для каждого метода имеет свои значения. В результате проведенных исследований получена методика, которая позволяет по заданным значениям погрешностей и ширине полосы, определяющей запас по устойчивости, обоснованно выбирать параметры численной модели.