Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

КОНТРОЛЬ ВЛАЖНОСТИ ДРЕВЕСИНЫ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ЕЕ СУШКИ

Макартичян С В, Шилин А Н, Стрижиченко А В,

4.2. Численный метод решения задачи

Основная идея численного метода решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями, состоит в замене исходного дифференциального уравнения и соответствующих граничных и начальных условий конкретной задачи системой алгебраических уравнений (дискретными аналогами), решение которой не представляет принципиальных трудностей.

В качестве метода дискретизации использовался метод контрольного объема [70].

В качестве основных неизвестных в численном методе рассматриваются значения зависимой переменной в конечном числе точек (называемых сеточными узлами или узловыми точками) расчётной области. Главным недостатком численного метода является невозможность получения аналитических выражений, описывающих зависимость переменной от координат и времени. Поэтому для того, чтобы выяснить влияние какого-либо параметра на температурное поле, необходимо, как правило, выполнить большое число вариантных расчётов. Численные методы позволяют получать значения переменной в ограниченном числе точек рассматриваемой области, и результаты расчётов оказываются всегда приближёнными. Однако этот недостаток не является существенным, так как точность получаемых решений всегда может быть доведена до необходимых значений, а число точек, в которых определяются значения переменной, ограничивается только памятью компьютера и объёмом вычислений.

Численный расчёт температурного поля в рассматриваемой области начинается с разбиения этой области на контрольные объёмы и выделения в каждом из них узловой точки (рис. 4.1 б). Очевидно, что с увеличением числа элементов повышается точность получаемого решения, но увеличивается объём вычислений. Достаточное для получения необходимой точности решения число элементов обычно определяется в процессе решения задачи.

а б

Рис. 4.1. Влажная доска в воздушном потоке (а) и контрольные объёмы для внутренних и граничных точек (б)

Следующий шаг – составление дискретного аналога исходного дифференциального уравнения. Дискретный аналог представляет собой алгебраическое уравнение, связывающее значение переменной в некоторой группе узловых точек. Оно получается из дифференциального уравнения, и, следовательно, несёт ту же физическую информацию, что и дифференциальное уравнение. При составлении дискретного аналога следует различать внутренние элементы и элементы, расположенные на границах области, дискретные аналоги которых учитывают граничные условия рассматриваемой задачи.

Рассмотрим элемент (контрольный объём), представляемый узловой точкой i, размер которого Δx, а расстояния между узловыми точками δx. Дискретный аналог получим путём интегрирования уравнения (2.14) по контрольному объёму и по временному интервалу от τ до τ + Δτ. Таким образом:

(4.6)

Для представления предположим, что значение температуры t в узловой точке распространено на весь контрольный объём, тогда:

(4.7)

где toi – температура в i-й точке на предыдущем временном шаге.

(4.8)

На данном этапе необходимо ввести предположение относительно изменения во времени температур ti, ti+1, ti–1. Одно из предположений имеет вид:

(4.9)

где f – весовой коэффициент, изменяющийся от 0 до 1.

(4.10)

(4.11)

Приводим уравнение к полностью неявной схеме (f = 1):

(4.12)

Получаем дискретный аналог:

(4.13)

где

Аналогичным образом интегрируем уравнение (4.2):

(4.14)

(4.15)

(4.16)

Граничные условия для уравнения теплопроводности:

(4.17)

Граничные условия для уравнения влагопереноса:

(4.18)

Решение дискретных аналогов получено с помощью метода прогонки – алгоритма трёхдиагональной матрицы TDMA(Tri-diagonal-Matrix Algorithm) [70].

Дискретный аналог запишем в виде:

(4.19)

Запись уравнения для узловых точек на границе даёт:

eN = 0; b1 = 0.

Записанные условия означают, что температура поверхности t1 известна в зависимости от t2. Уравнение для i = 2 представляет соотношение между t2 и t3. Процесс подстановки можно продолжать до тех пор, пока tN не будет выражено через tN + 1. Но поскольку tN + 1 не существует, то на данном этапе мы получим численное значение tN. Это позволяет начать процесс обратной подстановки.

Предположим, что при прямой подстановке имеем зависимость:

(4.20)

После того, как получено:

(4.21)

Получаем следующее соотношение:

(4.22)

Коэффициенты χ и β запишем в виде:

(4.23)

(4.24)

(4.25)

(4.26)

(4.27)

Последнее уравнение системы имеет вид:

tN = βN. (4.28)

и определяет температуру в последней узловой точке.

Расчёт остальных температур осуществляется в процессе обратной прогонки, начиная с уже определённой температуры tN, по уравнению (4.21), которое позволяет найти температуру по найденной на предыдущем шаге прогонки температуре. Решение уравнения влагопереноса находится аналогично.