Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
КОНТРОЛЬ ВЛАЖНОСТИ ДРЕВЕСИНЫ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ЕЕ СУШКИ
Макартичян С В, Шилин А Н, Стрижиченко А В,
5.4.3. Вероятностный синтез комбинирующей функции влагомера
Для большинства технологических процессов сушки древесных материалов выполняется условие стационарности и эргодичности технологических параметров. Это объясняется тем, что в нормальных условиях производства параметры материалов и процессов колеблются относительно постоянного значения, а сами эти колебания обусловлены не изменяющимися со временем причинами. Практические расчеты показывают, что функции спектральной плотности параметров древесных материалов, исследованные через большие промежутки времени, отличаются незначительно.
На рис. 5.3 показаны функции нормированной спектральной плотности начальной влажности ленты шпона толщиной 1,6 и 0,7 мм [66], которые практически сливаются в одну кривую, хотя исследовались в разное время. Таким образом, можно утверждать, что законы распределения влажности и мешающих параметров остаются во времени постоянными. В первом приближении их можно считать нормальными, что вполне справедливо для начальной влажности и мешающих параметров. Конечная влажность вследствие нелинейности статических характеристик сушильных установок распределена по закону, близкому к логарифмически нормальному.
Рис. 5.3. Нормированная функция спектральной плотности влажности ленты сырого шпона толщиной 1,6 и 0,7 мм
Однако если не допускать большой пересушки материала и обеспечивать малый диапазон колебания выходной влажности, закон ее распределения также достаточно хорошо соответствует нормальному.
Распределение результатов контроля влажности по нормальному закону распределения вероятностей, параметры которого не зависят от измеряемой величины, – также общепринятый факт. При колебаниях влажности, какие обычно бывают на входе и выходе сушилок, можно считать, что погрешности контроля не зависят от измеряемой величины.
Для оценки эффективности комбинированных методов контроля можно сравнить количества информации о влажности, содержащиеся в результатах элементарного однопараметрового и комбинированного двухпараметрового методов [66]. Результат контроля влажности однопараметровым методом можно представить в следующем виде:
Z1 = W + y1, (5.36)
где y1 – погрешность метода. Информация о влажности, содержащаяся в результатах измерения Z1, определяется выражением из теории вероятностей [19, 102]:
(5.37)
где f(W, Z1) – плотность вероятности распределения системы случайных величин (W, Z1); f1(W), f2(W) – плотности вероятности влажности и результата ее измерения. Так как законы распределения f1(W) и f2(W) по условию приняты нормальными, причем величины W и y1 независимые, выражение под знаком логарифма в уравнении (5.37) можно, представить в
(5.38)
где σW, 
– среднеквадратические отклонения соответственно влажности и результата контроля; DW, 
– дисперсии влажности и результата Z1; 
– коэффициент корреляции между влажностью и результатом ее контроля; 
, 
– центрированные случайные величины влажности и результата ее контроля. Подстановка этого выражения в уравнение (5.37) после преобразований дает формулу для искомой информации
(5.39)
Для ее определения необходимо вычислить корреляционный момент 
между влажностью W и результатом Z1 как математическое ожидание произведения их центрированных значений:
(5.40)
Отсюда коэффициент корреляции определяется выражением
(5.41)
Если данное выражение подставить в формулу (5.39), можно получить искомую информацию
(5.42)
где 
– отношение дисперсии влажности и погрешности ее измерения.
В полученных выражениях для удобства записи информация вычисляется не в «битах», а в «нитах» [102].
В двухпараметровом методе контроля влажности с результатом контроля Z1 комбинируется результат Z2, полученный другим методом контроля, методическая погрешность которого y2 отличается от погрешности y1:
Z2 = W + y2. (5.43)
Известно, что при ограниченной дисперсии нормальный закон распределения вероятностей обеспечивает максимальную информативность. Поэтому результаты комбинированного метода должны так же, как и результаты комбинируемых методов и измеряемая величина, подчиняться нормальному закону. В противном случае неизбежна потеря полезной информации. Это условие выполняется при линейной комбинации результатов
(5.44)
где a1, a2 – весовые коэффициенты.
При малых колебаниях результатов к этому условию приводятся все более сложные комбинирующие функции. Действительно, приращение результата, определяемого по какой-либо сложной комбинирующей функции G(Z1, Z2) при малых колебаниях Z1 и Z2, можно определить дифференциалом
(5.45)
В данном случае величины dZ1 и dZ2 – это погрешности контроля y1 и y2. Поэтому здесь можно получить выражение
(5.46)
После подстановки в уравнение (5.44) значений Z1 и Z2 из выражения (5.36) и (5.43) получится уравнение
(5.47)
Очевидно, что погрешность этого результата равна погрешности dG(Z1, Z2) (5.45). Это доказывает возможность использования линейной комбинации (5.44) в случаях малых приращений, когда допустима линеаризация сложной комбинирующей функции.
Информацию о влажности, заключенную в результатах комбинированного метода, можно определить по формуле (5.42). Информация равна
(5.48)
где DG – дисперсия погрешности комбинированного метода.
После введения в уравнение (5.47) условия нормирования a1 + a2 = 1 получается результат контроля комбинированным методом
(5.49)
Дисперсия DG его погрешности определяется выражением
(5.50)
где D1 = Dy1; D2 = Dy2 – дисперсии погрешностей комбинируемых методов; K12 – корреляционный момент между погрешностями.
Для получения максимального эффекта (выигрыша в точности контроля влажности) весовые коэффициенты a1 и a2 должны определяться из условия максимума информации 
. Из выражения (5.48) видно, что условие максимума информации сводится к условию минимума дисперсии DG. Учитывая условие нормирования, выражение для дисперсии DG примет следующий вид:
(5.51)
После дифференцирования полученного выражения по a1 получается результат
(5.52)
и из условия равенства его нулю определяются оптимальные значения весовых коэффициентов
(5.53)
Эти коэффициенты можно также определить и выражениями
(5.54)
где 
– коэффициент корреляции между погрешностями.
При подстановке значения (5.53) в выражения (5.50) и (5.48) получаются выражения для полной информации о влажности, содержащейся в результате полученных комбинированным методом,
(5.55)
где
(5.56)
Приращение информации, которое обеспечивает комбинированный метод по сравнению с наиболее точным из комбинируемых, определяется выражением
(5.57)
где 
.
Из выражения (5.57) видно, что выигрыш возможен при α < 1. Анализ выражения (5.56) показывает, что α не превышает единицы при любых значениях n и r12. Это обеспечивает неотрицательное приращение информации при любых парах комбинируемых методов.
Рис. 5.4. Зависимость приращения информации ΔI от коэффициента корреляции r12 между погрешностями и от отношения их дисперсий n
Рис. 5.5. Зависимость отношения дисперсии комбинированного способа к дисперсии более точного из комбинируемых от коэффициентов r12 и n
На рис. 5.4 показан график зависимости приращения информации ΔI(W) от степени неравноточности комбинируемых методов n и коэффициента корреляции r12 при отношении m = 100 [102]. Из графиков видно, что максимальный выигрыш в информации может быть и при неравноточных методах, которые дают результаты, связанные сильной отрицательной или положительной корреляционной связью.
Выигрыш комбинированного метода в точности по сравнению с более точным из комбинируемых можно оценить отношением дисперсий их погрешностей. На рис. 5.5 представлены графики зависимости отношения DG /D1 от коэффициента корреляции r12 и величины n. Эти зависимости позволяют выбрать наилучшие сочетания из имеющихся методов, если для всех пар методов известны коэффициенты корреляции между погрешностями и отношение их дисперсий.