Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

КОНТРОЛЬ ВЛАЖНОСТИ ДРЕВЕСИНЫ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ЕЕ СУШКИ

Макартичян С В, Шилин А Н, Стрижиченко А В,

6.2. Методика синтеза электрических схем замещения по частотным характеристикам

В теории электрических цепей достаточно полно разработаны методы синтеза электрических цепей по частотным или переходным характеристикам [7, 49, 63, 90].

В предложенной методике рассмотрен синтез математических моделей измерительного преобразователя влажности в виде электрических схем замещения по экспериментально полученным частотным характеристикам.

Поскольку частотные характеристики получены не аналитически, необходимо заданную таким образом функцию аппроксимировать некоторой аналитической функцией. Выбор функции необходимо делать таким образом, чтобы она при наименьшей погрешности имела наиболее простую реализацию.

Задача определения параметров аппроксимирующей функции y = f(x) сводится к некоторой минимизации отклонений значений этой функции от табличных значений. На практике в основном используется метод наименьших квадратов, в котором параметры функции f(x) определяются из условия минимизации суммы квадратов отклонений:

(6.17)

Известно [19, 47], что если отклонения подчиняются нормальному закону распределения, то полученные таким методом значения параметров аппроксимирующей функции f(x) наиболее вероятны.

Аппроксимация заданной зависимости при помощи метода наименьших квадратов состоит из двух этапов [5]: выбор аппроксимирующей функции и определение параметров этой функции. Первый этап является наиболее творческим и выполняется исследователем, а второй этап полностью формализован и может выполняться с помощью компьютера.

Полная проводимость Y(p) емкостного преобразователя влажности в операторной форме может быть представлена в виде простых дробей

(6.18)

Выражение (6.18) технически просто реализуется с помощью параллельного соединения элементов R, C и цепей из последовательно соединенных элементов R и C (рис. 6.7, а) с параметрами:

G0 = 1/R0 = b0; C0 = b; Gi = 1/Ri = bi; Ci = bi/λi. (6.19)

Комплексная частотная характеристика проводимости емкостного преобразователя в этом случае имеет вид

(6.20)

а ее активная и реактивная части

(6.21)

Аналогично в виде простых дробей может быть представлено полное сопротивление преобразователя влажности в операторной форме Z(p):

(6.22)

Выражение (6.22) технически просто реализуется с помощью последовательного соединения элементов R, C и цепей из параллельно соединенных элементов R и C (рис. 6.7, б) с параметрами:

R0 = a; C0 = 1/a0; Ri = ai/λi; Ci = 1/ai. (6.23)

Комплексная частотная характеристика сопротивления емкостного преобразователя в этом случае имеет вид

(6.24)

а ее активная и реактивная части

(6.25)

По данным исследований зависимостей проводимости преобразователя влажности от частоты (рис. 6.3, 6.4, 6.5) получены эквивалентные электрические схемы замещения (рис. 6.7, а) измерительного преобразователя для значений влажности паркетного дуба W = 3,1 %, W = 14,3 %, W = 29,5 %, W = 45,4 %, W = 66,2 %. Экспериментальные частотные характеристики аппроксимировались полиномами (6.21). Из исследований точности аппроксимации (рис. 6.8) следует, что схемы замещения до 3-й степени удовлетворяют требованиям практических расчетов.

а

б

Рис. 6.7. Схемы параллельной (а) и последовательной (б) реализации двухполюсников

Известно [69, 76, 86], что частотные характеристики проводимости связаны с переходными зависимостью

(6.26)

или

(6.27)

а б

в

Рис. 6.8. Графики зависимостей относительной погрешности аппроксимации полной (а), активной (б) и реактивной (в) проводимости емкостного преобразователя от частоты для различных степеней n аппроксимирующей функции (W = 3,1 %)

Параметры схем замещения представлены в табл. 6.1.

Подстановка полинома (6.25) в выражения (6.26), (6.27) позволяет получить переходную характеристику проводимости измерительного преобразователя (при t > 0)

(6.28)

Таблица 6.1

Численные значения параметров схем замещения

На рис. 6.9 показаны переходные характеристики проводимости измерительного преобразователя с образцами древесины дуба различной влажности.

Рис. 6.9. Переходные характеристики проводимости измерительного преобразователя: а – W = 3,1 %; б – W = 14,3 %; в – W = 29,5 %; г – W = 45,4 %; д – W = 66,2 %

По данным исследований зависимости полной проводимости преобразователя влажности от частоты (рис. 6.3) построены графики, представленные на рис. 6.10. Здесь показаны зависимости отношений токов большей частоты Iв к токам меньшей частоты Iн от влажности. Графики показывают, что чувствительность данного комбинированного метода в большой степени зависит от выбора частот комбинируемых методов: с увеличением отношения частот она заметно возрастает.

Рис. 6.10. Зависимость отношения токов разных частот через преобразователь от влажности древесины: а – fн = 100 Гц, fв = 1 кГц; б – fн = 100 Гц, fв = 10 кГц; в – fн = 100 Гц, fв = 50 кГц; г – fн = 100 Гц, fв = 100 кГц