Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.12. Рекуррентные модели динамики финансовых ресурсов

Остановимся более подробно проблеме развития модели финансовой фирмы в направлении учета фактора времени и исследование тех закономерностей, которые вносят в стратегию привлечения средств, связующие ограничения на ресурсы системы для смежных этапов ее функционирования. При переходе к рекуррентной динамической модели сразу следует отметить, что прибыль, получаемая фирмой на отдельных этапах, не может быть единственным оценочным показателем ее деятельности – помимо ее необходимо учитывать также и такие характеристики, как величина собственных средств (капитала) фирмы, темпы его изменения и т.п.

Введем обозначения:

t – индекс периода (t∈[1; T]);

qt – объем собственных средств фирмы в t-мпериоде;

xt – объем привлеченных средств в t-мпериоде;

v – усредненная норма затрат на единицу привлеченных средств;

u – усредненная норма дохода на единицу используемых средств;

θ – доля собственных средств, превращаемых в активы, т.е. используемых для получения дохода.

Тогда v∙xt – затраты на привлечение средств в t-мпериоде; u∙(θ∙qt–1+xt) – доход t-го периода, и величина собственных средств определяется рекуррентным соотношением

qt+1=qt+u∙(θ∙qt+xt+1) – v∙xt. (2.53)

Описанная модель основана на следующих существенных допущениях, значительно упрощающих реальную ситуацию:

●предполагается неизменность норм u, v, θ для всех периодов t, что обуславливает возможность непосредственного использования данной модели для относительно непродолжительных периодов времени;

●предполагается, что изменения объемов привлеченных и применяемых средств, а также расходы и получение дохода происходят дискретно.

Однако, несмотря на эти упрощения, данная модель может быть эффективно использована для анализа принципиальных зависимостей динамики показателей состояния кредитной организации от норм затрат на привлечение средств и дохода от активов.

Соотношение (формула (2.53)) с математической точки зрения является линейным разностным уравнением, для решения которого может быть, в частности, применено z-преобразование. Аппарат интегральных и дискретных преобразований основан на связывании однозначной комплексной переменной (изображения) с соответствующей функцией действительной переменной (оригиналом). Для многих практически значимых ситуаций это позволяет операции над оригиналами заменить более простыми операциями над изображениями, что широко используется при решении дифференциальных уравнений (интегральные преобразования) и втеории импульсных систем (дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование).

Z-преобразование функции дискретного аргумента f(k)=fk, k=0, 1, … называется функция определенная на некоторой области комплексной плоскости

(2.54)

или

(2.55)

где p=1+u∙θ. (2.56)

Величину p можно интерпретировать как норму накопления собственных средств банка за один период.

Для начала рассмотрим относительно простую ситуацию. Будем считать, что объемы привлеченных средств по периодам являются некоторым внешним фактором, динамика которого может быть описана с помощью мультипликативной стохастической модели.

Тогда объем привлеченных средств в периоде t+1 можно представить как

(2.57)

где коэффициенты приращения – случайные величины, распределенные по логарифмическому нормальному закону с параметрами μi и σi, причем предполагается, что μi зависят от v .

Тогда уравнение (формула (3)) приобретает вид

(2.58)

Решение данного уравнения можно найти, используя метод Дюамеля для z-преобразования. Сэтой целью рассмотрим вспомогательное уравнение

gt+1 – p∙gt=δt, g0=0, (2.59)

где (2.60)

Пусть gt→G(z) и δt→1 – z-преобразование функций gt и δt. Тогда

gt+1→z∙G(z), z∙G(z) – p∙G(z)=1. (2.61)

Следовательно,

(2.62)

Оригиналом для служит последовательность pt. Стало быть, по известным свойствам z-преобразования

(2.63)

введем новую переменную ht=qt – q0. Если положить,

(2.64)

то уравнение для ht примет вид

(2.65)

Обозначим H(z) – z-преобразование ht и F(z) – z-преобразование . Тогда изображающее уравнение для уравнения формула (2.76) примет вид

(2.66)

Рассматривая совместно уравнения (формула (2.61)) и формула (2.66)), получим

(2.67)

Это означает, что последовательность ht, являющаяся оригиналом для H(z), может быть найдена как свертка оригиналов gt (см. формулу (2.62)) и , т.е.

(2.68)

После элементарных преобразований выражение (формула (2.68)) принимает вид

(2.69)

Таким образом, найдено решение разностного уравнения (формула (2.69))

(2.70)

В том случае, когда коэффициенты элементарного перехода имеют одинаковое распределение для всех моментов t , решение (формулы (2.70)) принимает вид

(2.72)

Используя результаты, полученные для стохастических мультипликативных моделей, прогноз величины привлеченных средств на момент t+1 может быть выражен как

(2.72)

где х0 – объем привлеченных средств на начальный момент времени (t=0); – оценки значений параметров μ, σ соответственно.

В силу предположения о взаимной независимости коэффициентов перехода αt, заменив их в (формуле (2.71)) соответствующими оценками получим выражение для прогнозного значения объема собственных средств на момент t

(2.73)

где значение может быть получено из (формулы (2.72)).

В частном случае, если , после раскрытия неопределенности выражение (формула (2.73)) имеет более компактную форму

(2.74)

Формулы (2.73) и (2.74) имеют прозрачную экономическую интерпретацию – объем собственных средств банка на момент времени t зависит в рамках предложенной модели от двух составляющих:

●q0∙pt – величины начального капитала с учетом проводимой политики накопления;

● – результата деятельности по привлечению средств и получению доходов от их активного использования.

Очевидно, что компоненты соотношения (формула (2.53)), моделирующего поведение банка в весьма редуцированном виде, крайне затруднительно соотнести с теми или иными статьями баланса реального финансового объекта. Сделать это можно лишь с очень большими оговорками и ценой существенных потерь в точности получаемых результатов.

В табл.16 содержатся данные по динамике собственного капитала, обязательств и объемов процентных доходов и расходов в банке за период 1квартала 2011года по 3квартал 2013года.

На их основе находятся первичные оценки значений нормы дохода от применения средств , получаемые как усредненное отношение процентного дохода Ut ко всему капиталу xt+qt, и нормы затрат на их привлечение , равные усредненному отношению процентного расхода Vt к объему обязательств предыдущего периода xt–1.

Таблица 2.15

Данные по динамике собственного капитала, обязательств, процентным доходам и расходам для банка

Период	Обязательства, млн. руб., x	Собственный капитал, млн. руб., q	Годовой прирост собственного капитала, млн. руб., Δq	Процентный доход, млн. руб., U	Процентный расход, млн. руб., V	Чистый процентный доход, млн. руб., U–V
1 кв. 2011	14664	2328		420	156	264
2 кв. 2011	17580	2254	–74	491	199	292
3 кв. 2011	18347	2252	–2	483	221	262
4 кв. 2011	21861	2108	–144	600	275	325
1 кв. 2012	22639	2365	257	705	317	388
2 кв.2012	24367	2270	–95	703	329	374
3 кв. 2012	35142	3510	1240	1570	764	806
4 кв. 2012	40624	3538	28	1132	607	525
1 кв. 2013	40354	3669	131	1129	641	488
2 кв. 2013	46534	3921	252	1194	619	575
3 кв. 2013	47170	4015	94	1210	667	543

Учитывая то, что из рассмотрения опущены такие факторы, как непроцентные доходы и расходы, расходы на выплату налогов и т.п., для соотнесения объемов чистого процентного дохода Ut – Vt с приростами собственного капитала Δqt необходимо введение нормирующего коэффициента, значение которого определяется как отношение .

После умножения на него первичных оценок норм дохода и затрат () мы получаем их окончательные оценки (). Оговоримся, что понятия первичности и окончательности оценок употребляются в контексте их использования для интерпретации модели. Применяя для нахождения оценки величины коэффициента элементарного перехода объема обязательств формулу (2.72) и подставив вместо u и v их оценки в формулу (2.73), можно найти прогнозные значения объемов собственного капитала по годам рассматриваемого периода. Результаты данного расчета представлены в табл. (значение параметра θ, влиянием которого при столь высоком уровне погрешности, заложенном в исходной информации, можно пренебречь, взято равным 0,05, соответственно p≈1,001).

Таблица 2.16

Фактические и прогнозные (по формуле (2.84)) значения объема собственного капитала банка

Период	Обязательства, млн. руб., x	Собственный капитал, млн. руб., q	Прогнозное значение собственного капитала, млн. руб.	В том числе по составляющим		Отклонение прогноза от факта, %
				q0∙pt
1 кв. 2011	14664	2 328	–	–	–	–
2 кв. 2011	17580	2 254	2 374	2 330	43	5 %
3 кв. 2011	18347	2 252	2 425	2 333	92	8 %
4 кв. 2011	21861	2 108	2 482	2 335	147	18 %
1 кв. 2012	22639	2 365	2 547	2 337	210	8 %
2 кв. 2012	24367	2 270	2 620	2 340	281	15 %
3 кв. 2012	35142	3 510	2 703	2 342	361	–23 %
4 кв. 2012	40624	3 538	2 796	2 344	451	–21 %
1 кв. 2013	40354	3 669	2 900	2 347	554	–21 %
2 кв. 2013	46534	3 921	3 018	2 349	669	–23 %
3 кв. 2013	47170	4 015	3 151	2 351	800	–22 %

Относительно высокий уровень отклонений между расчетными и действительными величинами, достигающий в отдельные годы 23 %, адекватен уровню ошибки, заложенному в используемых данных. По полученным результатам, содержащимся в табл.2.16, построены графики динамики фактического и прогнозного значений объема собственного капитала за период с 1квартала 2011года по 3квартал 2013года, представленные на рис.2.4.

Рис. 2.4. Динамика фактических и прогнозных значений собственного капитала для банка

Графическая иллюстрация поведения последовательности для разных значений нормы затрат на привлечение средств приводится на рис.2.5.

Рис. 2.5. Динамика объема собственного капитала при различных нормах затрат на привлечение средств