Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ПРИМЕНЕНИЕ ИННОВАЦИЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Звездина М. Ю.,

6.4. Опорно-проекционный метод решения эволюционных уравнений в задачах оценки стохастических характеристик радиотехнического комплекса

6.4.1. Оценка состояния радиотехнического комплекса на основе эволюционных уравнений в параметрической форме выполняется следующим образом.

Уравнение (6.9) и краевые условия (6.10) представим в виде одного точного операторного уравнения [6.7, 6.11–6.13]:

f(x, ω, t) ∈ W, (6.13)

где F(ω) – линейный непрерывный оператор, действующий в нормированном пространстве W, элементы которого удовлетворяют условиям (6.10), λ – некоторая постоянная; f(x, ω, t) – заданная функция из W. Постоянная λ не является характеристическим значением оператора F(ω) для всех ω ∈ Ω,

Рассмотрим в пространстве W полное подпространство , в котором задано приближенное (по отношению к (6.13)) операторное уравнение

(6.14)

где P – непрерывный линейный оператор, проектирующий пространство W на подпространство , для которого , P2 = P. Считаем, что выполняются условия:

1) любому p(x, ω, t) ∈ W соответствует элемент такой, что

2) в подпространстве имеется элемент , для которого

,

где η2 зависит от f(x, ω, t).

Любой элемент единственным образом определен в виде

(6.15)

где элементы {γi(x, t)} образуют базис в .

Дополнительно, считаем заданной полную систему {Dj} линейных функционалов, для которой из равенств

j = 1, 2, ...,

следует . Следовательно, вместо (6.14) можно рассмотреть систему равенств

j = 1, 2, ...,

где I – единичный оператор. Отыскивая используемое в задачах оценки технического состояния радиотехнических комплексов решение уравнения (6.14) в виде (6.15), получим параметризованную систему линейных алгебраических уравнений (метода Галеркина):

j = 1, 2, ... (6.16)

Если система биортогональна базису , то

, j = 1, 2, ...

В частном случае, если W – гильбертово пространство, а P – оператор ортогонального проектирования, то, считая систему {γk(x, t)} ортогональной:

j = 1, 2, ..., (6.17)

где – символ, означающий скалярное произведение. Систему (6.17) представим в форме

j = 1, 2, ... (6.18)

По отношению к (6.18) считаем, что

(6.19)

а ее решение подчинено условию

ω ∈ Ω. (6.20)

Таким образом, задача синтеза параметризованного приближенного решения уравнения (6.9) с граничными условиями (6.10) приводит к задаче отыскания решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (6.18).

6.4.2. Перейдем к обоснованию метода редукции к задаче к задаче оценки состояния радиотехнических комплексов. Данный метод является самым известным методом решения (6.18) [6.10, 6.13, 6.14], который заключается в замещении бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (6.18) конечной (усеченной)

(6.21)

решение которой рассматривается в качестве приближенного решения системы (6.18). При этом должна быть обеспечена необходимая точности приближения, которая гарантирует требуемое качество оценки стохастических характеристик радиотехнического комплекса.

Представим бесконечную систему (6.18) с учетом (6.19) и (6.20) как одно операторное уравнение в банаховом пространстве:

(6.22)

где K(ω) – непрерывный линейный компактный оператор в l2, который определяется для всех ω ∈ Ω матрицей системы (6.18), . По аналогии систему (6.21) рассмотрим в конечномерном пространстве :

где и , а приближенный оператор Kn(ω) будет определяться усеченной матрицей при этом Кроме пространств C и Cn введем вспомогательное пространство C[n] ⊂ l2, включающее элементы, все координаты которых, начиная с (n + 1)-й, равны нулю. Обозначим через Hn непрерывный линейный оператор, отображающий C[n] взаимно однозначно на Cn, то есть ставящий в соответствие каждому элементу соответствующий элемент Вполне естественно, что существует обратный оператор . Наряду с Hn существует также непрерывный линейный оператор Qn, являющийся продолжением оператора Hn, то есть отображающий C на Cn и совпадающий с Hn на C[n]. Оператор Qn сопоставляет элементу элемент :

(6.24)

Очевидно, что

(6.25)

(6.26)

где под [K(ω)c(ω)]n понимается так называемый «усеченный» элемент, который получается из элемента K(ω)c(ω) ∈ l2 путем замены всех координат, начиная с (n + 1)-й, нулями,

ω ∈ Ω. (6.27)

Поскольку выполняется условие (6.9), то σn → 0 при n → ∞.

Кроме того,

где ω ∈ Ω. При этом μn → 0 при n → ∞.

Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что если λ не является характеристическим значением (6.18), то для любого заданного ω ∈ Ω при больших значениях n система (6.21) имеет решение относительно . При этом приближенные решения сходятся к точному .

Скорость сходимости характеризуется следующим неравенством

ω ∈ Ω, (6.28)

где и – решения систем (6.18) и (6.21) соответственно; q1 > 0 и q2 > 0 – постоянные, не зависящие от ω и n.

Таким образом, что каждая координата вектора отличается от каждой координаты вектора для всех и ω ∈ Ω на малую величину, а при k > n координата для всех ω ∈ Ω стремится к нулю. Кроме того, имеет место сходимость

k = 1, 2, ...

6.4.3. Перейдем к анализу решения задачи оценки состояния радиотехнического комплекса. Не снижая общности рассуждений, допусти ω ∈ Ω ⊂ R1. Пусть в области Ω задан набор «реперных» точек (узлов) ω(i), . Каждому набору параметров ω(1), ω(2), ..., ω(N) поставим в соответствие семейство точных решений (6.21), то есть Решения могут быть построены до начала непосредственной оценки технического состояния и помещены в память ЭВМ.

Рассмотрим алгоритм отыскания приближенного параметризованного решения системы (6.21) для всех ω ∈ Ω. Используя данное решение, построим вектор

который примем в качестве приближенного параметризованного решения системы (6.18). При этом обеспечивается выполнение неравенства

ω ∈ Ω, (6.29)

где δn,N – положительная постоянная, которая задает границу допустимой погрешности вычислений для конкретного радиотехнического комплекса.

Вполне очевидно, что количество и расположение наборов узлов ω(1), ω(2), ..., ω(N) определяется областью Ω, а также необходимой конечной погрешностью построения параметризованного решения системы (6.18).

Для заданного поставим в соответствие узлам ω(1), ω(2), ..., ω(N) набор чисел , который соответствует j-м координатам предварительно синтезированных решений системы (6.21). Выполним процедуру интерполяции данного набора с использованием скалярной функции ψnj(ω) = θn(ω, vj), vj ∈ RN, , где вектор коэффициентов vj = {vj1, vj2, ..., vjN} вычисляется из решения системы линейных алгебраических уравнений

(6.30)

Из выражения (6.30) следует, что коэффициенты vj выбираются таким образом, чтобы значения ψnj(ω) совпадали со значениями в N узлах интерполяции. Решением (6.30) будет вектор коэффициентов . Далее по аналогии проводится интерполяция для всех , то есть определяется набор параметризованных коэффициентов ψn1(ω), ψn2(ω), ..., ψnn(ω), обеспечивающих выполнение характеристического свойства (6.30). Данные коэффициенты используются как параметризованные координаты приближенного решения системы (6.21), то есть . При этом

(6.31)

где ;

Приведенные формулы (6.30), (6.31) указывают, что синтезированное приближенное решение системы (6.21) совпадает с её точным параметризованным решением в узлах интерполяции ω(i), .

Приближенное параметризованное решение (6.8) принимает вид:

(6.32)

С целью решения практических задач оценивания технического состояния радиотехнических комплексов приведенную процедуру синтеза параметризованных решений (6.30) конкретизируем относительно наиболее распространенных методов интерполяции.

Для параболической интерполяции на базе степенных полиномов

(6.33)

где

Разыскивая решение (6.33) для всех относительно vj с учетом (6.32), получим соотношение:

(6.34)

Тогда

(6.35)

где – точное решение (6.18) для узла ω(i) ∈ Ω.

При интерполяции на базе полинома Лагранжа

где

Учитывая, что достаточно просто убедиться в выполнении условия

То есть,

(6.36)

Искомое приближенное параметризованное решение системы (6.18) будет выглядеть следующим образом:

(6.37)

Введем следующе обозначения: для точного аналитического решения системы (6.18) как – вектор, образующийся из путем превращения в нуль всех координат, начиная с (n + 1)-й, и – приближенное решение. В результате для оценки итоговой погрешности можно использовать классическое неравенство треугольника:

ω ∈ Ω. (6.38)

Конкретный вид (6.38) зависит от выбранного метода интерполяции. Оценка слагаемого приводилась выше. Для оценки второго слагаемого необходимо использовать известные формулы для оценки остаточного члена применительно к конкретному виду интерполяции. Результирующую точность прогноза вычисленных стохастических характеристик радиотехнического комплекса можно оценить с помощью (6.38).

Полученные выше результаты несложно распространить на многомерный случай, когда ω ∈ Ω ⊂ Rm [6.10–6.12].

6.4.4. Построение параметризованных решений эволюционных уравнений в задачах оценки состояния радиотехнического комплекса осуществляется следующим образом.

С учетом (6.15) и (6.32) приближенное решение (6.13) в параметризованном виде будет равно

(6.39)

При реализации параболической интерполяции на базе степенных полиномов и с учетом (6.34) и (6.39), получаем решение

(6.40)

При реализации параболической интерполяции на базе полиномов Лагранжа решение будет следующим:

(6.41)

Оценим качество оценки решения, используя в качестве показателя погрешность вычислений. Зададим произвольным образом , для которого для всех можно определить такое значение n, чтобы выполнялось неравенство:

(6.42)

Результирующую погрешность оценим на базе неравенства треугольника

(6.43)

Оценку нормы разности рассчитаем с учетом следующих теорем.

Теорема 1. Если выполняются условия, изложенные в п. 6.4.1 для любых ω ∈ Ω и существует непрерывный оператор (I – λPF(ω))–1, то

(6.44)

где

На базе теоремы 1 теоремы несложно получить оценку разности приближенного и точного решений. При этом оценка разности не содержит информации, имеющей отношение к точному решению:

q < 1, ω ∈ Ω. (6.45)

С целью оценки разности решений и в параметризованном виде воспользуемся теоремой 2.

Теорема 2. При условии реализации теоремы 1 имеет место оценка

(6.46)

Минимизация первого слагаемого в правой части (6.46) обеспечивается выбором оптимального метода интерполяции и необходимого количества узлов ω(1), ω(2), ..., ω(N). Второе слагаемое соответствует ограничению (6.42), которое характеризуется только числом n.

6.4.5. Рассмотрим применение параметризованных решений эволюционных уравнений для задач оценки состояния РТК

Плотность вероятности исследуемого случайного процесса является его основной характеристикой, с ее помощью можно определить все остальные параметры характеристики данного процесса [6.10, 6.11, 6.14]. Пусть параметризованное решение эволюционного уравнения (6.11) – это плотность распределения вероятности параметра x(ω, t), который характеризует техническое состояние радиотехнического комплекса. В этом случае функция распределения x(ω, t) на интервале [dн, dв] равна x ∈ [dн, dв]. Начальные моменты параметра – а центральные моменты – , где k – номер момента. Работоспособность радиотехнического комплекса определяется зависимостью (6.7)

С целью практического применения полученных результатов оценки и прогнозирования технического состояния необходимо определить следующие основные характеристики: вероятность работоспособного состояния объекта в заданный момент времени, вероятность безотказной работы на интервале исследования, время достижения прогнозируемым параметром границ допустимой области. Вероятность работоспособного состояния (рс) радиотехнического комплекса в заданный момент времени t равна

где dв, dн – границы допустимой области.

Приведенные выше вероятности являются функциями не только от времени, но и от параметра ω, который характеризует начальные и граничные условия, особенности эксплуатации объекта, параметры внешней среды и т.д. При условии того, что параметр ω ограничен областью Ω, характеристики технического состояния комплекса находятся внутри интервала, ограниченного максимальным значением вероятности для оптимистической оценки и минимальным – для гарантированной.

Время T(ω) достижения значением исследуемого параметра границ области допусков определяется соотношением

Остальные характеристики радиотехнического комплекса определяются по аналогии с учетом непрерывной зависимости x(ω, t) от параметра ω.

Таким образом, на основе полученного с помощью разработанного метода параметризованного решения эволюционного уравнения можно отыскать в аналитическом виде значения основных характеристик состояния радиотехнического комплекса.