Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Предельные теоремы теории вероятностей: учебное пособие

Селиверстова И. Ф.,

1.5. Теорема Бернулли. Практическое занятие по теме «Предельные теоремы в схеме Бернулли»

Хронологически, она стоит первой среди теорем закона больших чисел и положила начало математической науке. Доказана Я. Бернулли, швейцарским математиком, весьма сложным способом. Простое доказательство дано П.Л. Чебышевым как следствие из его же теоремы.

Суть теоремы: она устанавливает связь между относительно частотой (W) появления события А в независимых испытаниях и вероятностью (p) наступления этого события в каждом опыте.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится или нет некоторое событие А, вероятность появления которого в каждом опыте равна p.

Тогда теорема Бернулли утверждает: при неограниченном возрастании числа n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, частота (W) события А, сходится по вероятности к его вероятности p, то есть

где ε – сколь угодно малое число.

Доказательство.

Пусть X1 – число появлений события А в 1-м опыте, X1 – во 2-м, …, Xn – в n-м. В каждом опыте событие А может появится или не появится. То есть каждая величина Xi (i = 1, 2, ..., n) есть дискретная случайная величина с двумя возможными значениями 0 и 1. Её ряд распределения имеет вид

Где q = 1 – p.

Проверим условия выполняемости теоремы Чебышева для этой случайной величины.

1. Случайные величины X1, X2, ..., Xn взаимно-независимы, так как испытания независимы.

2. Все они имеют одинаковое математическое ожидание

3. Дисперсии их ограниченны.

Действительно

(С – const).

Найдем С. Для этого найдем наибольшие значения которые принимают p и q:

Пусть

y = pq = p(1 – p) = p – p2,

тогда y′ = 1 – 2p = 0 то есть следовательно и

Чтобы убедиться, что это максимальное значение найдем вторую производную y″ = –2 < 0, следовательно, – максимальные значения, тогда можно считать то есть

Таким образом, можно воспользоваться теоремой Чебышева

В нашем случае mx = p.

Покажем, что равна относительной частоте появления события А в испытаниях.

Действительно, каждая из величин Xi (i = 1, 2, ..., n) при появлении события А в соответствующем испытании принимает значение, равное единице, а в тех испытаниях, в которых событие А не появляется, принимает значение равное нулю. Поэтому их сумма

где k – число появлений события в n испытаниях

Значит – относительная частота появления события А.

Тогда

Окончательно получаем

Следовательно сходится по вероятности к общему математическому ожиданию этих случайных величин, то есть вероятность неравенства стремится к 1.

Заметим что с ростом числа испытаний Речь идет о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота появления события А будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности p наступления события А в каждом опыте.

Поясним различие: означает, что начиная с некоторого n = N выполняется неравенство Стремление к p по вероятности, при n → ∞ означает, что для отдельных значений n неравенство может не выполнятся. Итак, теорему Бернулли можно записать

Теорема Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта, когда частота p появления события А в каждом опыте одинакова.

Замечание.

Более общий случай, когда условия опытов не одинаковы, и вероятности p1, p2, ..., pn наступления события А в каждом опыте различны, описывается теоремой Пуасcона.