Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЕ ОБУЧЕНИЕ

Шабанова М. В., Овчинникова Р. П., Ястребов А. В., Павлова М. А., Томилова А. Е., Форкунова Л. В., Удовенко Л. Н., Новоселова Н. Н., Фомина Н. И., Артемьева М. В., Ширикова Т. С., Безумова О. Л., Котова С. Н., Паршева В. В., Патронова Н. Н., Чиркова Л. Н., Тепляков В. В.,

1.3. История становления и развития идей исследовательского подхода к обучению математике в России и за рубежом

Требованиями Федеральных государственных образовательных стандартов общего образования нового поколения определена необходимость формирования у учащихся опыта исследовательской деятельности. Для реализации этих требований в образовательных организациях начального общего образования должна быть реализована программа формирования универсальных учебных действий (УУД), к числу которых отнесены и действия постановки и решения проблем [2]. Программа реализуется за счет внеурочной деятельности учащихся по подготовке и выполнению учебно-исследовательских проектов, а также через включение элементов исследовательского обучения в предметную подготовку. В примерной основной образовательной программе [145] раскрыта связь формируемых универсальных учебных действий с содержанием учебных предметов. В частности в программе указано, что овладению начальными формами исследовательской деятельности должно содействовать изучение предмета «Окружающий мир», в то время как «Математика» рассматривается лишь в качестве предмета, способствующего формированию логических и алгоритмических УУД, а также УУД, связанных со знаково-символической деятельностью.

Однако, в примерной основной образовательной программе основного общего образования [146] уже указана иная расстановка приоритетов в формировании у учащихся опыта исследовательской деятельности. Математика рассматривается не только как основной предмет в овладения основами проведения теоретических исследований, но и как равноправная с предметами естественно-научного цикла область для формирования умений проводить эксперименты и исследования в виртуальных лабораториях, навыков сбора, обработки и анализа эмпирических данных на основе знаний элементов статистики.

Хотя для старшей школы примерная основная образовательная программа пока не разработана, содержание стандартов [1] позволяет предположить, что перед предметной областью «Математика и информатика» будет поставлена задача формирования опыта проведения модельных и статистических исследований, в том числе, и с проведением компьютерных экспериментов, и с применением компьютерной обработки статистической информации.

Таким образом, новыми федеральными государственными образовательными стандартами перед системой общего математического образования поставлена непростая задача формирования у обучающегося в гармоничном единстве основ исследовательского опыта математика-теоретика, и опыта математика-экспериментатора.

Является ли эта задача новой для методики обучения математики?

Подготовлено ли ее решение методической теорией и образовательной практикой?

Ответы на эти вопросы мы постараемся найти в истории становления и развития идеи исследовательского подхода в обучении математике в России и за рубежом.

Отправной точкой развития идеи включения учащихся в исследовательскую деятельность в процессе обучения математике можно считать введение М.В. Ломоносовым в середине XVIII века «экспериментального метода» в систему преподавания физико-математических наук учащимся гимназии (для дворян и разночинцев) при Академии наук Петербурга, а затем при Московском университете, которые великий русский ученый возглавлял с 1758 по 1765 г.

Необходимость использования экспериментального метода как отправной точки познания М.В. Ломоносов обосновывал тем, что весь процесс человеческого познания определяется потребностями практической деятельности [23, с. 123]. Он предлагал начинать объяснение нового материала с обращения гимназистов к их житейскому опыту, а также с постановки специальных демонстрационных экспериментов, делающих истинность научных положений наглядной. В практике преподавания М.В. Ломоносов широко использовал постановку творческих задач, требующих от учащихся самостоятельного проведения экспериментов. Это, по его мнению, должно было способствовать развитию творческого мышления у детей, выработке интереса и потребности к знаниям. Такие взгляды были передовыми для того времени, так как наиболее распространенными были метод «зубрежки», бессмысленного заучивания.

В связи с этим можно считать, что идея исследовательского обучения математике в России зародилась в середине XVIII века как идея сближения обучения с чертами научного исследования.

В XIX веке в образовательной практике постепенно накапливались представления о формах, методах и средствах реализации этой идеи.

Так, в 1864 г. в главе «О первоначальном обучении счету» своей знаменитой книги «Родное слово» К.Д. Ушинский делает наброски программы новой методики арифметики, в которых рекомендует применять наглядный метод обучения. Описывая предлагаемый методический
подход формирования у учащихся знаний о мерных единицах К.Д. Ушинский говорит: «Пусть они меряют, весят и считают». Задачи, по его мнению, должны иметь практический, наглядный характер; их нужно брать из мира, окружающего детей. Он рекомендует включать учащихся в деятельность вычислений, измерений и счета окружающих их реальных объектов: классной комнаты, дверей, окон, скамеек; или страниц книг и тетрадей; или недель, дней и часов до праздников и т.п. [51, с. 41].

[12] [131, p. 9].

Представление о роли математики в формировании исследовательского опыта учащихся стало меняться совсем недавно под влиянием международных научно-образовательных проектов, связанных с разработкой моделей исследовательского обучения математике (Inquiry-Based Mathematics Education (IBME)). Наиболее значимыми из них являются: DynaMat [149], InnoMathEd [152], KeyCoMath [153], Mascil [154], Scientix2 [155], Fibonacci [156].

Рассмотрим более подробно имеющиеся модели исследовательского обучения математике с точки зрения целесообразности их использования в российской системе математического образования в условиях новых требований федерального образовательного стандарта.

Проект Фибоначчи (Fibonacci Project). Был реализован в 2010–2013 гг. Его целью явилась разработка модели исследовательского обучения математике и ее распространение в Европе. За основу создания модели участники проекта приняли модель обучения через исследование, представленную схемой на рис. 5.

Схема показывает, что процесс исследовательского обучения начинается с попытки понять суть явления или ответить на вопрос о его причинах. Первые же попытки отыскать причины возникшего вопроса актуализируют у учащихся идеи из предыдущего опыта, которых может быть несколько. В ходе их обсуждения учащимися выбирается основная идея (рабочая гипотеза), позволяющая определить рамки исследовательского процесса и/или условия наступления ожидаемого явления. Другими словами, рабочая гипотеза является основой для прогнозирования условий получения ожидаемого результата. Далее для проверки прогноза планируется и проводится исследование, в ходе которого собираются дополнительные данные. Затем данные интерпретируются и сопоставляются с прогнозом, при этом может произойти уточнение рабочей гипотезы. На основе сопоставления прогноза и полученных данных делается вывод о правильности ответа. Обратные стрелки показывают, что под воздействием полученных данных может уточняться прогноз или меняться гипотеза. Первоначально выдвинутые гипотезы могут заменяться другими, не связанными напрямую с прежним опытом.

В ходе проекта были установлены специфические особенности реализации этой модели при обучении математике.

1. Стартом математических исследований могут являться как внешние (external), так и внутренние (internal) вопросы. В этой связи под внешними понимают вопросы относительно реальных проблем и явлений: природных (например, как понять и чем объяснить изменения тени
одного и того же объекта), практических (например, как измерить недоступные величины и величины недоступных объектов), технических (например, как работает GPS навигатор), искусствоведческих (например, какой вид должен иметь элемент для создания периодической мозаики. Под внутренними понимаются вопросы о математических объектах, возникающие в процессе изучения этих объектов (например, каково наибольшее значение произведения натуральных слагаемых натурального числа? Всякое ли натуральное число может быть представлено как разность квадратов натуральных чисел? Что означает утверждение «две фигуры имеют одну и ту же форму»? Если периметры треугольников равны, то равны ли их площади?).

Рис. 5. Модель исследовательского подхода получения научных знаний

2. Характер вопроса оказывает влияние на ход исследования. Если стартом является внешний вопрос, то процесс учебного математического исследования сходен по своей структуре с циклом исследовательского обучения естественнонаучным предметам (IBSE). Он имеет вид, представленный на рис. 6.

Рис. 6. Циклическая модель IBME M. Blomh?j & T.H. Jensen [110]

Схема показывает, что первый шаг исследования, следующий из внешнего вопроса, состоит в формулировке задачи на основе восприятия реальности и целей ученого. Формулировкой задачи определяется область исследования. Второй шаг состоит в изучении объектов области исследования и представлении их в виде системы свойств и отношений, значимых для исследования. Это создает основу для третьего шага – математизации, то есть описания выделенной системы свойств и отношений в терминах математики. На четвертом шаге применяются математические методы с целью получения математических результатов. Пятый шаг состоит в их интерпретации и оценке применимости (адекватности) модели путем сопоставления с данными о поведении системы, которые получены с помощью натурных экспериментов, или доказаны теоретически. Только после этого модель используется для получения новых утверждений о поведении системы.

Главным отличием этого цикла от IBSE является построение «вторичной» модели реальности, которая лишена всякой вещественности, для применения методов математики к изучению этой модели. В этой процедуре меньше субъективизма, однако, полученные результаты, как и результаты естественно-научных исследований, в этом цикле подвергаются проверке путем сопоставления с реальностью.

3. Внутриматематические исследования, т.е. исследования, начинающиеся с постановки внутренних вопросов, имеют следующие основные особенности:

– важность планирования и правильной организации поисковых действий для погружения в проблему и продвижения в ней;

– прагматизм исследовательских действий и их нелинейность;

– диалектическое использование доказательств и опровержений посредством контрпримеров;

– доказательный характер полученных результатов, который убеждает в надежности полученных выводов, а также дает интеллектуальное удовлетворение от обнаружения иных оснований полученного утверждения;

– поиск возможных обобщений для каждого найденного решения, с учетом как результатов, так и использованных методов;

– переосмысление результата, т.е. изменение точки зрения на него под влиянием обобщений;

– невозможность стандартизации формы исследования в математике даже в простейших случаях, так как его ход и результаты определены уровнем математической подготовки, доступными средствами поддержки экспериментов, индивидуальным стилем рассуждений, характером знаково-символической деятельности.

Участники проекта предлагают строить IBME с учетом этих особенностей, стимулируя учащихся в следующих видах деятельности: постановка вопросов, изучение объектов, наблюдение за изменением их свойств, обнаружение закономерностей, выдвижение гипотез, объяснение обнаруженных закономерностей и их доказательства. Исследовательский цикл обучения математике, по мнению участников проекта, должен начинаться с постановки ключевой проблемы или с практического эксперимента (hands-on experiments), сходного с восприятием реальности в естественных науках: складывание листа бумаги, склеивание, раскрашивание, использование инструмента (например, пантографа), игры-головоломки (например, танграм), экспериментирование с компьютерными динамическими моделями математических объектов. Роль учителя на этом этапе состоит в постановке вопросов, стимулирующих учащихся к формулированию исследовательской задачи: Что произойдет, если ...? Что делать, если не ...? Почему ...? Сколько ...? От чего зависит…? Всегда ли верно…? Есть ли сходство с …? Каково максимальное (минимальное) значение …? Поиск ответов на возникающие вопросы рекомендуется организовывать как групповую работу учащихся. В ходе исследования учитель играет роль партнера, а не человека, который знает готовый ответ. Учитель не оценивает ответы учащихся, он лишь задает вопросы, подводящие учащихся к верификации своих ответов и обоснованию своих выводов.

Представленная модель ориентирована на относительно самостоятельное формирование двух видов исследовательского опыта учащихся в процессе обучения математике: опыта математика-прикладника и опыта математика-теоретика.

Приведем пример реализации предложенной авторами модели в ситуации организации деятельности учащихся по решению внутриматематической задачи.

Пример 1. Изучение по представленной схеме Теоремы Фалеса.

Учащимся предлагается динамический лист, созданный в интерактивной геометрической среде GEONExT, содержащий динамический чертеж с пояснениями (крайние точки А и В диаметра окружности соединены с произвольной точкой С, лежащей на окружности) и краткие инструкции:

– перемещайте по окружности точку С;

– наблюдайте за величиной внутренних углов треугольника;

– запишите свои наблюдения (рис. 7).

Рис. 7. Рабочий динамический лист для экспериментального исследования

Проводя предложенный в инструкции эксперимент, школьники рисуют эскизы, записывают свои наблюдения в «журнале исследования», выдвигают гипотезы.

Далее учащиеся сравнивают друг с другом результаты исследований, при необходимости дополняют свои записи. После этого они получают следующий динамический лист (рис. 8). Учащимся предлагается сравнить свои наблюдения с формулировкой теоремы: «Если одна из сторон вписанного в окружность треугольника является ее диаметром, то треугольник имеет прямой угол». Помимо формулировки теоремы на этом листе содержатся исторические сведения о том, в каких странах и почему это геометрическое открытие называется теоремой Фалеса. Затем предлагается подсказка, какое дополнительное построение нужно сделать, чтобы доказать выдвинутую гипотезу (соединить отрезком точки С и M).

Рис. 8. Рабочий динамический лист для проверки выводов

Далее урок проходит в традиционном стиле. Ученики демонстрируют свои результаты, учитель показывает традиционное доказательство теоремы.

Проект Математика и наука для жизни (Mascil), осуществляется с 2013 по 2016 гг. Целью проекта является не только содействие внедрению в систему общего образования технологии исследовательского обучения, но и создание исследовательских заданий, решение которых вводит математику в практическую и профессиональную сферу, делая ее изучение более значимым для учащихся. В связи с этим участники проекта опираются на следующие представления об элементарном IBML (см. рис. 9). Из схемы видно, что решение прикладных проблем состоит из четырех этапов:

1) формализация проблемы (Formulating), которая заканчивается постановкой на ее основе математической задачи или созданием математической модели исходной проблемы;

2) внутримодельное исследование (Reasoning Analysing Procedures), которое заканчивается получением математического результата (математического решения проблемы);

3) интерпретация результата (Interpreting), итогом которого являются рекомендации по решению исходной проблемы;

4) оценка (Evaluating) предложенного решения проблемы.

Рис. 9. Цикл решения проблемы

Роль учителя в ходе реализации цикла, представленного на рис. 9, первоначально состоит в постановке перед учащимися практически значимых проблем, в предоставлении им возможности решать самостоятельно задачу настолько, насколько им позволяют имеющиеся знания и практический опыт решения задач. Затем – в организации помощи учащимся путем постановки наводящих вопросов. Перечень наводящих вопросов составляется в направлении от более общих к более частным.

Учителям при этом даются следующие практические рекомендации по стимулированию поисковой активности учащихся во время решения задачи:

1. Предоставьте ученикам время для понимания проблемы и работы над ней. Препятствуйте ученикам в их желании слишком быстро отказаться от решения проблемы и обратиться за помощью	– Используйте предоставленное вам время, не спешите. – Вы знаете что делать? – Что вы пытаетесь сделать?
2. Предлагайте ученикам стратегии, а не технические советы. Избегайте упрощения проблемы для учеников, разбивая ее на шаги	– Может быть попробовать на конкретном примере? – Может стоит попытаться систематизировать? – Может представить все как-то иначе?
3. Поощряйте учеников к рассмотрению альтернативных методов и подходов к решению проблемы. Поощряйте учеников в сравнениях своих собственных методов	– Есть ли другие способы? – Какой из этих двух методов вы предпочитаете? Почему?
4. Поощряйте объяснения учеников. Стимулируйте учеников объяснять свои выводы, поощряйте их объяснения друг другу	– Можешь ли ты объяснить свой метод? – Поясни, что сказал Петр
5. Модель мышления и мощные методы. Когда ученики сделали все от них зависящее в решении проблемы, они готовы воспринимать новые мощные и элегантные подходы к ее решению, которые представляет им учитель. Если это будет сделано вначале, то они будут просто подражать применению метода, и не смогут понять, почему он был необходим	– Теперь я собираюсь попробовать решить эту проблему сам, размышляя вслух. – Я могу сделать какие-то ошибки здесь в ходе рассуждений. Попробуйте найти их для меня

Результатом данного проекта явилось создание банка исследовательских задач практического и профессионально ориентированного характера.

Пример 2. Помогите археологам восстановить утраченную часть блюда по оставшемуся фрагменту (рис. 10).

Для решения этой задачи учащиеся помещают изображение в GeoGebra, используя инструменты среды для исследования особенностей оставшейся части. Затем используют результаты для построения недостающей части.

Рис. 10. Задача о реставрации

Проект Развитие ключевых компетенций в математическом образовании (KeyCoMath). Целью данного проекта является разработка базовой концепции, создание учебных и методических материалов для решения задачи развития ключевых компетенций в соответствии с Европейскими рамками отсчета ключевых компетенции для непрерывного образования, утвержденными 18.12.2006 г. ЕС [150]. Этими рамками определено восемь компетенций, включая математическую и основные компетенции в области науки и техники, а также цифровую: «mathematical competence and basic competences in science and technology. Mathematical competence is the ability to develop and apply mathematical thinking in order to solve a range of problems in everyday situations, with the emphasis being placed on process, activity and knowledge. Basic competences in science and technology refer to the mastery, use and application of knowledge and methodologies that explain the natural world. These involve an understanding of the changes caused by human activity and the responsibility of each individual as a citizen. Digital competence involves the confident and critical use of information society technology (IST) and thus basic skills in information and communication technology (ICT)…»[13].

В рамках реализации этого проекта создана концептуальная модель виртуальной школьной математической лаборатории [157]. Она предназначена для формирования синтетических (математико-цифровых) компетенций в рамках исследовательского обучения учащихся [114].

Ресурс «Виртуальная школьная математическая лаборатория» включает набор динамических сценариев (dynamic scenarios) – исследовательских задач по различным темам школьного курса математики, а также динамический рабочий лист для проведения компьютерных экспериментов.

Для развития синтетических компетенций средствами ресурса предполагается, что учителя будут его использовать для организации исследовательского обучения с постепенным продвижением от низших уровней к высшим:

– динамические сценарии используются для проведения подтверждающих исследований, т.е. поиска способов проверки и подтверждения утверждений;

– динамические сценарии изменяются предписанным образом для поиска ответов на исследовательские вопросы, которые формулируются учителем;

– учащиеся самостоятельно создают динамические сценарии для поиска ответов на исследовательские вопросы учителя.

Наивысший уровень сформированности синтетической компетенции проявляется тогда, когда учащиеся сами начинают создавать и использовать динамические ресурсы для решения собственных исследовательских задач.

Рис. 11. Виртуальная школьная математическая лаборатория

Модель исследовательского обучения математике «Тайбэй» (Taipei (DMT), Б. Лазаров [124]) выгодно отличается от представленных моделей исследовательского обучения математике. Она имеет два существенных достоинства по сравнению с рассмотренными моделями:

1) ориентирована на формирование синтетических математико-цифровой компетенций (Math-and-ICT competence);

2) в ней четко структурирована логика когнитивного движения исследователя (индивидуальная образовательная траектория) при реализации исследовательского цикла, основанного на внутренних вопросах;

3) система направляющих вопросов учителя составлена в соответствии с канонами сократовского диалога.

Единственным слабым местом этой модели является ее ориентация на исследовательское обучения лишь четвертого уровня.

Модель Тайбэй представляет когнитивное движение в процессе решения исследовательской задачи происходящим сразу в двух направлениях: «вертикальном» и «горизонтальном».

«Вертикальное» перемещение представляется состоящим из шагов (итераций) последовательного приближения к намеченной перспективной цели через постановку и достижение ближайших познавательных целей:

… (k – 1) - k - (k + 1) …

k-ая итерация представляет собой шаг (k – 1) - k, который состоит в постановке ближайшей цели исследовательского обучения на актуальном уровне развития синтетической компетенции учащегося (сompetences – KSC), затем в выполнении всех необходимых мероприятий для развития своей KSC до уровня, обеспечивающего достижение ближайшей цели. Далее учащийся использует этот компетентностный рост для достижения ближайшей цели и анализа полученных результатов. Представленное когнитивное движение неоднозначно, оно определяется:

1) индивидуальной информационной средой;

2) индивидуализацией дидактических ресурсов, в том числе выбором индивидуальных исследовательских или поисковых инструментов;

3) индивидуализацией постановки образовательной цели, в том числе гибким подходом к ее достижению;

4) индивидуализацией темпа обучения, исследовательских действий, стиля планирования;

5) индивидуальными рефлексивными способностями и способностью к самоорганизации.

В связи с этим каждый шаг итерации может иметь несколько вариантов завершений (рис. 12). Компоненты (1)–(5) обеспечивают гибкость вертикального когнитивного движения. Дополнительная гибкость обеспечивается горизонтальным движением.

Рис. 12. Структура модели исследовательского обучения Тайбэй
в сравнении со структурой одноименного небоскреба

Процесс построения индивидуальных образовательных траекторий при решении исследовательских задач описывается в модели Тайбэй горизонтальным когнитивным движением. Модель горизонтального когнитивного движения учитывает влияние нескольких (но не всех) факторов окружающей, т.е. локальной, поведенческой среды (local behavioral environment (LBE)):

– социальное окружение учащегося (учителя, родители, одноклассники и т.д.);

– место организации исследовательского обучения (школа, клубы и т.д.);

– мероприятия, предоставляющие возможности продемонстрировать свои достижения (турниры, конференции и т.д.);

– система ценностей, составляющая культурный контекст работы учащегося (мотивы исследовательской работы, связь темы исследования с профессиональным выбором учащегося и т.д.).

Горизонтальное движение обеспечивается тройкой (EC; SS; ER) составляющих образовательного процесса, где EC – условия проведения исследования (Stands for the educational context); SS – сократовский стиль
общения преподавателя с учащимся (Socratic style interaction between the teacher and the student), ER – образовательные ресурсы (Еducational resources).

Тройка (EC; SS; ER) задает внешний контекст исследовательской и творческой деятельности учащегося (learning and creativity interface, LCI). Текущие значения этих составляющих постоянно меняются. Они определяют движение вдоль индивидуальной образовательной траектории в локальной поведенческой среде (LBE). Учащиеся приобретают знания, умения и компетенции (knowledge, skills and competences, KSC), которые меняют локальную поведенческую ситуацию (LDE’). Структура этого движения представлена на рис. 13.

Рис. 13. Структура горизонтального движения в модели Тайбэй

Проведенный нами анализ истории становления и развития теории исследовательского обучения математике показал, что отправной точкой этой идеи являлось привлечение к процессу учебного познания математических экспериментов. Компьютерные технологии сегодня открыли новые возможности для реализации этой идеи. Об этом свидетельствует бурный рост числа моделей исследовательского обучения математике, практическая реализация которых предполагает использование компьютерных экспериментов [124]. Это подсказывает идею построения модели исследовательского обучения математике в соответствии с методологией экспериментальной математики.