Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ ЭКОЛОГИИ И ЭКОНОМИКЕ

Рау В. Г., Рау Т. Ф., Малеев А. В.,

§ 1.3. Математический аппарат квантовой механики

Задача поиска уравнения движения микрообъекта, в сущности, представляла собой проблему разработки математического аппарата, адекватно отражающего все известные особенности поведения частиц в микромире («квантовые скачки», линейчатые спектры, дискретные уровни энергий и т.д.).

Вначале проведем анализ одного из первых предположений: свободному движению электрона сопутствует волновой процесс. В этом случае электроны в пучке могут быть ускорены стационарным электрическим полем и при этом – что сейчас для нас важно – ведут себя подобно классическим (заряженным) частицам, т.е. способны воспринять любую энергию без всяких квантовых скачков. Как это отражается в математической модели? Имеем волновое уравнение: и его решение в виде волновой функции или . Избавимся от второй производной по времени подстановкой в волновое уравнение. Получим следующее уравнение (обозначим его буквой А):

где .

Решением этого уравнения является функция . При этом, λ обязана быть величиной положительной на интервале [0, ∞) и величина энергии E также может принимать все возможные значения в интервале [0, ∞). Никакой дискретности! Если же λ < 0, то мнимая величина может быть представлена как , а тогда при стремлении координат к бесконечности, (х → ∞), функция также стремится к бесконечности, что физически не определено.

Движение электрона в атоме стало ограничено: если координаты r = const и θ = const, то φ – периодична. Если электрон попал через некоторое время в ту же точку, то его состояние должно остаться тем же (требование однозначности).

Это возможно в том случае, когда . Сохраняя вид правой части волнового уравнения и вид решения, имеем:

а тогда получим новое уравнение (обозначим его буквой В): .

Решением уравнения (В) является, функция , при условии, что . Тогда , откуда . Расписывая левую часть по формуле Эйлера, получаем: . Это возможно лишь тогда, когда в левой части отсутствует мнимое число, а поэтому и , поэтому λ = 0, ±1, ±2, ..., т.е. принимает дискретный ряд значений.

Если по-прежнему считать, что величина λ связана с энергией, то энергия становится «квантованной». Оба уравнения: (А) и (В) могут быть объединены единой формой записи: дифференцирование некоторой функции Ψ равно самой функции, умноженной на измеряемую физическую величину λ, что можно представить следующим образом: . Такая форма записи позволяет перейти к введению понятия оператора.

Определим оператор как всякое действие (а также символ, обозначающий это действие), ставящее в соответствии одной величине другую (например: функциональная зависимость, ее конкретное выражение, взятие производной, умножение на число, умножение на матрицу и др.).

Возвращаясь к примерам (2.1.1) и (2.1.2) и используя понятие оператора, запишем два оператора в виде: и .

В обоих случаях в правой части уравнений (2.1.1) и (2.2.2) получается один и тот же результат: вид функции, умноженной на величину λ, сохраняется. Полученный оператор (читается «L со шляпой»), который действует на функцию с сохранением ее вида так, что , является линейным оператором. При этом функция, для которой выполняется соотношение, взятое в рамку, называется собственной функцией оператора , а величина λ – собственным значением оператора, соответствующим собственной функции. Знание оператора, как мы уже видели, позволяет, решив соответствующее уравнение, найти собственную функцию и вычислить спектр собственных значений. Считаем, что вычислениям в математике соответствует измерения в физике; оператору, позволяющему вычислить собственное значение, соответствует операция измерения физической величины, а собственная функция – функция состояния системы. Уравнение, связывающее все определенные величины, функции и операторы, представляет собой уравнение движения (эволюции) системы. Представим окончательно полученную информацию в виде табл. 1.

Таблица 1

Соотношение между физической математической моделями

Физическое описание микромира	Математическая модель
измеряемая величина (наблюдаемая)	линейный оператор величины λ
набор значений измеряемой величины	собственные значения (спектр)
состояние, определяемое волновой функцией Ψ	собственная функция Ψ оператора
эволюция системы (нерелятивистское приближение)	уравнение движения (нестационарное уравнение Шредингера)
эволюция системы (релятивистское движение)	уравнение движения (уравнение Дирака)
стационарное состояние	стационарное уравнение Шредингера

Рассмотрим, какие дополнительные требования к операторам, функциям состояния (собственными функциями) и величинами (собственными значениями) необходимо использовать исходя из «физических соображений».

1. Собственные значения величины λ должны быть вещественными, так как измеряемые на опыте физические величины всегда вещественны. Математически это требование можно записать следующим образом: λ = λ* где знак (*) обозначает комплексное сопряжение. Действительно, если λ = a + bi, а λ* = a – bi, то равенство λ = λ* или a + bi = a – bi возможно лишь при b = 0, а тогда λ = λ*, т.е. представляет собой действительное число.

2. Первое требование ограничивает класс линейных операторов, которые могут быть использованы в квантовой механике. Дело в том, что действительными собственными значениями обладают только самосопряженные операторы, удовлетворяющие следующему равенству:

(1.3.1)

где x – произвольный параметр состояния, а Ψ* – функция состояния комплексно сопряженная исходной Ψ-функции. Действительно, если , а , то условие самосопряженности приведет к следующему выводу:

т.е. λ = λ* для каждого конкретного значения λ. Если λ = λ(x), то

откуда, , что также возможно, только если λ – вещественная величина.

3. Собственная функция Ψ оператора должна удовлетворять требованиям существования производных, должна быть непрерывна, однозначна и конечна (стандартные условия). Так как Ψ-функция определяет функцию плотности вероятности, то . (условия нормировки). Именно это требование использовано в предыдущем пункте. Если считать, что объект находится в реальном пространстве, то вероятность его обнаружения должна обращаться в нуль при координатах x → ±∞, т.е. Ψ(x) → 0 при . Бесконечно удаленная от нас микрочастица как бы не существует.

4. Операторы можно складывать, т.е. существует такой оператор , который означает, что производится либо измерение собственной величины оператора , либо собственной величины . В этом случае порядок измерений роли не играет. Операторы и можно умножать, т.е. существует такой оператор , который означает, что производится одновременное (совместное) измерение в одном и том же эксперименте собственного значения операторов и . При этом очевидно, что если измерения и не являются независимыми, т.е. результат измерения зависит от того произведено или нет, то порядок измерений как и порядок вычислений играет существенную роль. Если , то говорят, что операторы и коммутативны, а если , то операторы некоммутативны (не перестановочны). Оператор () называется коммутатором:

(1.3.2)

Проверить коммутативность или не коммутативность операторов и можно, если они имеют общую собственную функцию. Таким образом, если функция состояния найдена, то имеет смысл выяснить расчетным путем, какие переменные можно измерить одновременно, а какие нельзя.