Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.2.1. Необходимые сведения и аналитические выражения

Основными характеристиками многоканальных систем массового обслуживания (СМО) с ожиданием [1] является вероятность p0 простоя системы и средняя длина Lq очереди:

osipov091.wmf (3)

osipov092.wmf

где n –

число каналов обслуживания;

osipov093.wmf

коэффициент загрузки системы – отношение интенсивности входящего потока заявок к интенсивности их обслуживания в СМО.

Для формализации описания функционирования систем с ограниченным временем ожидания их удобно представлять в виде графа состояний, который в простейшем варианте является схемой гибели и размножения (см. рис. 3.3).

osipov094.wmf

Рис. 3.3. Граф состояний СМО с ограниченным временем ожидания

В этом случае предельные вероятности определяются по следующим формулам:

osipov095.wmf (4)

osipov096.wmf osipov097.wmf

где β =

osipov098.wmf;

ν –

интенсивность уходящего (из очереди, не дождавшись обслуживания) потока заявок;

r –

число заявок, находящихся в очереди;

k –

число занятых каналов.

 

Исследуем формулу (4) вероятности того, что система находится в состоянии S0 (все каналы свободны) [6]. Здесь в отличие от формулы (3) второе слагаемое в скобках есть бесконечный ряд, который не является прогрессией, но его элементы быстро убывают с ростом их номера.

Представим бесконечную сумму в виде двух слагаемых, в первом учитывается конечное число (q – 1) ее элементов, а второе (бесконечная сумма) – остаток.

osipov099.wmf (5)

Оценим остаток R, очевидно

osipov100.wmf

Можно показать, что

osipov101.wmf (6)

Действительно

osipov102.wmf

и, соответственно

osipov103.wmf

Длину очереди можно найти по формуле:

osipov104.wmf

где osipov105.wmf – среднее число занятых каналов


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074