Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Обухов А. Г., Сорокина Е. М.,
§2. Обзор основных математических моделей конвективных течений сплошных сред
Пермская гидродинамическая школа и её создатели – Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкий, внесла существенный вклад в развитие фундаментальной проблемы возникновения и устойчивости конвективных течений. В первых работах Е.М. Жуховицкого одновременно с решением новых задач конвективной устойчивости разрабатываются приближенные методы решения сложных краевых задач в докомпьютерную эпоху. Аналитическими методами в соавторстве с Г.З. Гершуни была исследована устойчивость разнообразных систем с интересными и нетривиальными свойствами [8–13].
С появлением быстродействующей вычислительной техники Е.М. Жуховицкий становится организатором большого числа крупных численных экспериментов. Исследуются устойчивость плоскопараллельных конвективных течений, устойчивость и нелинейные режимы конвекции в конечных полостях в поле тяжести и в вибрационных полях, конвективные течения и устойчивость этих течений при модулированных во времени или в пространстве полях температуры.
Е.М. Жуховицкий многие годы руководил аспирантурой кафедры теоретической физики ПГПУ. Среди его учеников профессора и доктора физико-математических наук Е.Л. Тарунин, Г.З Файнбург, Р.В. Бирих, О.Н. Дементьев, В.А. Саранин, А.К. Колесников.
Монография [8] посвящена исследованию устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости и стационарного конвективного движения. Рассматривается конвективная устойчивость вязкой несжимаемой жидкости в полостях разной формы. Исследуется влияние на устойчивость различных факторов – магнитного поля, вращения, неоднородности состава, модуляции параметров, внутренних источников тепла, капиллярных эффектов и пр. Основное внимание уделяется изучению спектров возмущений, определению границ устойчивости и формы критических движений. Излагаются также основные результаты нелинейных исследований конечно-амплитудных движений. Рассматривается устойчивость плоскопараллельных конвективных течений.
Книга [9] посвящена устойчивости стационарных конвективных течений. Основное внимание уделяется плоскопараллельным течениям, на примере которых исследуются механизмы неустойчивости, свойства спектра возмущений, анализируется воздействие осложняющих факторов – стратификации, температурной зависимости вязкости, тепловых свойств границ. Изучается устойчивость конвективных течений бинарной смеси, проводящей, диэлектрической и неньютоновской жидкостей, среды с примесью. Обсуждаются течения, вызванные внутренним тепловыделением различной природы,
адвективные, виброконвективные и комбинированные течения. Рассматривается устойчивость конвективных пограничных слоев, замкнутых течений, а также вторичных режимов.
Впервые влияние модуляции конкретного параметра среды в задачах конвекции рассмотрено в работах [10, 11], где исследовано равновесие горизонтального слоя со свободными границами при периодическом изменении градиента температуры. При этом предполагалось, что частота модуляции мала, а амплитуда конечна. Несмотря на наличие ряда упрощающих предположений, качественные выводы этих работ показывают, что модуляция градиента температуры может приводить к возникновению областей неустойчивости резонансного типа.
Вибрационная конвекция в условиях невесомости впервые была рассмотрена в работе [12]. При невесомости определяющим физическим параметром является вибрационное число Рэлея.
Имеется цикл работ, в которых изучалась термокапиллярная конвекция в двухслойных системах с недеформируемой поверхностью раздела. В [13] рассмотрена многослойная система.
Опубликовано достаточно много статей, где рассматривалась конвекция либо при действии вертикальных вибраций, либо при осциллирующем градиенте температуры. Качественно новые результаты были получены при рассмотрении действия гармонических высокочастотных вибраций произвольного направления. В этих работах были выведены осредненные уравнения для областей с твердой границей. Проанализирован случай модельной задачи и показано, что направление вибрации оказывает существенное влияние на возникновение конвекции. Так, например, если направление вибрации содержит горизонтальную составляющую, то конвекция может возникнуть и при нагреве сверху. Подход, с использованием метода осреднения применялся в работах, обзор которых дан в монографии [14].
Содержание книги [15] охватывает весьма широкий круг вопросов тепло- и массообмена в однофазных средах. Основное внимание уделено изложению аналитических методов решения соответствующих задач. Последовательно изложены решения задач гидродинамики и теплообмена при ламинарном и турбулентном течении в трубах и при внешнем обтекании тел. Приводится решение ряда важных задач, связанных с развитием современной техники. Дана методика практических расчетов сложных задач массообмена.
Книга [16] посвящена описанию метода изучения и результатов исследования конвективных движений в свободной атмосфере, в том числе в облаках. Рассмотрена аппаратура, необходимая для измерений, и теория статистической интерпретации результатов наблюдений. Приведены данные, позволяющие установить основные параметры конвекции в атмосфере, изменение этих параметров в зависимости от различных физико-географических условий, механизм развития конвективных движений в атмосфере, а также связь между конвективными движениями вне и внутри облаков. Полученные результаты имеют значение для понимания механизма конвекции и развития конвективной облачности и могут быть использованы для количественных представлений ряда явлений, вызванных конвекцией и связанных с нею.
Задачи конвективной устойчивости представляют интерес ввиду разнообразия факторов, вызывающих развал течений. Взаимодействие или конкуренция различных физических механизмов часто порождают красивые и неожиданные явления. Таким образом, изучение задач устойчивости конвективных течений представляет общенаучный интерес, а также создает предпосылки для построения общей теории турбулентности.
С другой стороны, возникновение конвекции заметно изменяет динамику многих движений: значительно усиливаются теплообмен, диффузия, характерные скорости потока и другие процессы переноса. Такого рода явления могут играть как положительную, так и отрицательную роль в ряде технологических процессов. Неравномерный нагрев жидкости приводит, в силу теплового расширения, к появлению неоднородностей плотности. В поле тяжести это является причиной возникновения переменной по пространству силы и, как следствие, движения жидкости [17].
Конвекция играет важную роль в ряде технологических процессов, эффективность которых может быть значительно улучшена подавлением или усилением конвекции [17]. Так, например, в процессе выращивания кристаллов важно подавить развитие ячеистых возмущений, существенно ухудшающих свойства получаемого образца. Обратная ситуация наблюдается при растворении примесей, перемешивании веществ: важно усилить конвекцию, чтобы интенсифицировать указанные процессы. Таким образом, задачи управления конвекцией являются важными в технологических приложениях.
Если единственной причиной движения является пространственная неоднородность температуры среды, находящейся в поле силы тяжести, то такое движение называют термогравитационной конвекцией [18]. В теоретических исследованиях термогравитационной конвекции различают внутренние и внешние задачи. В первом случае граничные условия для температуры и скорости ставятся на поверхности области, занятой жидкостью, во втором – на бесконечности. Хотя в эксперименте жидкость или газ всегда занимают ограниченный объем, такое разделение задач имеет смысл, так как в некоторых случаях состояние сплошной среды вдали от границ теплообмена можно считать заданным. В большинстве же случаев локальные условия конвективного теплообмена и общая структура потока, определяемая граничными условиями, взаимосвязаны.
В работе [18] представлены результаты экспериментального и теоретического исследования турбулентной конвекции в замкнутых полостях. Экспериментальные исследования термогравитационной конвекции в кубической полости выполнены для различных чисел Релея и различных условий подогрева. Исследованы устойчивость равновесия, переходы к стационарному, периодическому, стохастическому и развитому турбулентному режимам конвекции. Прослежена эволюция осредненного температурного поля, крупномасштабных мод и пространственных спектров температурных пульсаций с ростом числа Релея. Измерены пространственно-временные спектры стохастических колебаний.
В экспериментах широко применялись новые модификации интегральных оптических методов. Представлены результаты экспериментальной проверки предложенных методов на тестовых задачах.
Результаты экспериментов используются для построения иерархической модели турбулентности, в основу которой положено смешанное координатно-спектральное представление гидродинамических полей.
Процессы конвективного теплообмена, представляющие практический интерес, происходят в условиях турбулентного движения сплошной среды. Существующие в настоящее время модели и методы расчета турбулентного теплообмена применимы обычно к весьма узкому классу течений, обладающему основными особенностями уже изученных классов течений, на базе которых они и созданы. Построение моделей, которые бы давали надежные результаты в неизученных ранее условиях, является первоочередной задачей, решение которой может существенно повлиять на возможности резкого повышения мощности промышленных аппаратов, использующих явление турбулентного теплообмена.
Целью работы [19] является комплексное исследование винтового течения жидкости в тороидальном канале и детальное исследование процесса образования крупномасштабного спирального вихря от локализованного источника тепла во вращающемся слое жидкости. Исследование винтового течения в торе является необходимым этапом по подготовке пермского лабораторного эксперимента по реализации нестационарного МГД-динамо в тороидальном канале. Для реализации динамо эксперимента, требующего больших затрат мощности и больших объемов жидкого металла, необходимо исследовать возможность создания винтового потока на водной модели, в замкнутом тороидальном канале, временную зависимость различных компонент скорости течения, определить осредненные профили скорости, найти оптимальные режимы торможения канала. Исследование спирального вихря от локализованного источника тепла включает в себя изучение влияния на его эволюцию различных факторов, таких, как геометрия модели, неоднородный нагрев и мелкомасштабные спиральные вихри, а также измерения полей скорости с применением современных трассерных методов измерения скорости PIV (Particle Image Velocimetry).
В [20] представлена математическая модель нестационарного сопряженного конвективно-кондуктивного теплопереноса в замкнутом объеме с локальными источниками тепловыделения в условиях конвективно-радиационного теплообмена на одной из внешних граней области решения. Проведен численный анализ режима термогравитационной конвекции для умеренных значений числа Грасгофа. Получены характерные поля температуры и скорости, а также представлено сравнение полей искомых величин плоской и пространственной моделей по одному из типичных сечений области решения.
Проведен [21] экспериментальный и численный анализ ламинарных режимов сопряженной термогравитационной конвекции в замкнутом параллелепипеде с теплопроводными стенками конечной толщины при наличии локального источника энергии в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой. Численные исследования выполнены с использованием пакета прикладных программ «Fluent». Показано, что экспериментальные данные и результаты численных расчетов достаточно хорошо согласуются.
В [22] исследуются обратные задачи и задачи управления для нестационарных уравнений тепловой конвекции, рассматриваемых при граничных условиях Дирихле для скорости и смешанных краевых условий для температуры. Указанные задачи формулируются как задачи условной минимизации функционалов качества, адекватно описывающих исходные постановки. Роль управления играет поток тепла на части границы области течения. С использованием методов оптимального управления выводится система оптимальности, представляющая собой необходимые условия экстремума первого порядка. Предлагается численный алгоритм решения рассматриваемых задач и проводится анализ результатов проведенных вычислительных экспериментов.
Экспериментально изучена структура закрученного течения в вихревой камере [23]. Измерены распределения азимутальной и осевой компонент скорости практически во всем объеме камеры и определены распределения функции тока этого стационарного вращательно-симметричного течения. Впервые построена картина линий тока течения в вихревой камере, и выявлены основные структурные элементы этого течения.
В экспериментах по исследованию горизонтальных конвективных валов в цилиндрической полости [24] было обнаружено, что процесс образования поперечных структур носит периодический характер. В связи с этим были внесены изменения в программу исследований и основные усилия были сконцентрированы на изучении формирования мелкомасштабных конвективных валов в неподвижном цилиндрическом слое жидкости с локализованным нагревом в центральной части. Подогрев в центральной области приводит к появлению крупномасштабной адвективной ячейки, занимающей весь объем рабочей полости. В области подогрева, вблизи дна кюветы, образуется температурный пограничный слой, в котором формируются вторичные структуры, форма которых зависит от нагрева. В широком диапазоне управляющих параметров вторичные течения представляют собой суперпозицию радиальных конвективных валов, направленных вдоль основного течения и поперечного возмущения, сносимого к центру. Формирование поперечных структур характеризуется частотой, значение которой определяется числом Рэлея.
Рассмотрена задача о движении вязкой жидкости, индуцируемом трансверсальным перемещением и вращением параллельных плоскостей, ограничивающих область течения [25]. Частные решения задачи найдены в рамках класса точных решений уравнений Навье – Стокса с линейной зависимостью части компонент скорости от двух пространственных переменных. Такой подход позволил редуцировать полные уравнения гидродинамики к существенно переопределенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно новых неизвестных, в число которых включены законы относительного перемещения и вращения твердых границ. В результате анализа совместности полученной системы обнаружены три случая ее замыкания, два из которых соответствуют вращению плоскостей с одинаковыми (в общем случае переменными) угловыми скоростями, но с разными законами поперечного перемещения границ потока. Третий случай замыкания предполагает противовращение плоскостей с равными по абсолютной величине угловыми скоростями. Анализ этого случая показал его качественное сходство (в смысле картины перемещения и вращения скоростей) с исследованным ранее аналогичным осесимметричным режимом [26].
При моделировании природных и технологических процессов, связанных с описанием движений вязких несжимаемых жидкостей, возникают так называемые крупномасштабные течения [27]. Для таких течений вертикальный характерный масштаб пренебрежимо мал по сравнению с горизонтальными расстояниями. Для такого класса задач построено достаточно много точных решений [28], скорости которых зависят линейно от горизонтальных компонент с функциональными коэффициентами, а давление является квадратичной формой. Решения этих задач хорошо известны, поскольку они сводятся к линейным одномерным уравнениям, которые легко интегрируются. В работе [27] приводится обобщение классических слоистых течений для завихренных жидкостей. В этом случае конвективная производная в уравнениях движения жидкости тождественно не обращается в нуль.
Характерной особенностью турбулентной тепловой конвекции в замкнутом объеме является формирование крупномасштабных потоков, которые охватывают всю полость. Структура крупномасштабной циркуляции определяет эффективность потока тепла. Наибольшее количество информации о динамике и структуре крупномасштабной циркуляции получено для цилиндрических моделей, где крупномасштабная циркуляция представляет собой одновихревое течение, охватывающее всю полость со стороной и блуждающее в азимутальном направлении. В работе [29] экспериментально исследуется долговременное поведение крупномасштабной циркуляции в кубической полости. Экспериментальные исследования поведения крупномасштабной циркуляции в кубической полости показали, что ориентация крупномасштабного вихря меняется случайным образом. Было зафиксировано два вида движения. Первому типу движения соответствует крупномасштабный вихрь, локализованный вдоль одной из диагоналей полости, причем с течением времени крупномасштабный вихрь перебрасывался с одной диагонали на другую. Второму типу движения соответствует крупномасштабный вихрь, ориентированный вдоль плоскости широких граней.
В неоднородно нагретых слоях жидкости нередко возникает пограничный слой с неустойчивым распределением температуры. В этом пограничном слое возможно формирование вторичных структур в виде конвективных валов, оси которых могут быть направлены как вдоль основного потока, так и поперек. Интерес к таким течениям связан с их наблюдением в атмосферном пограничном слое и их влиянием на перенос импульса, тепла и влаги в пограничных слоях циклонов и ураганов [30].
Экспериментально вторичные структуры в виде продольных валов были обнаружены в пограничном слое над нагретой наклонной пластиной в случае вынужденной конвекции [31].
В [32] исследовалось образование спиральных структур, вызванных конвективной неустойчивостью в вынужденном течении в плоском горизонтальном канале.
В условиях свободной конвекции вторичные течения были исследованы в прямоугольной полости при наличии на дне ступенчатого перепада температур [33].
Следующим шагом в изучении таких структур является исследование влияния геометрии полости и нагревателя на вид и динамику возникающих вторичных течений. В цилиндрическом слое жидкости конвективные валы над локализованным источником тепла впервые наблюдались в [34], однако детального исследования этих структур не проводилось.
Предметом работы [35] стало изучение возникновения вторичных течений на экспериментальной установке с использованием современных систем измерений. В ходе проведенной работы показано наличие температурного пограничного слоя вблизи границы нагревателя. Исследовано влияние нагрева на форму и динамику, возникающих в пограничном слое вторичных структур.
В [36] экспериментально исследована турбулентная свободная конвекция жидкого натрия в прямой теплоизолированной трубе с торцевыми теплообменниками, обеспечивающими фиксированный перепад температуры. Представленные характеристики крупномасштабной циркуляции и турбулентных пульсаций температуры показывают, что конвективный теплоперенос определяется в основном скоростью крупномасштабной циркуляцией натрия.
Разработке эффективных экономичных методов моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости для проведения исследований нестационарных гидродинамических нагрузок на тела, совершающие произвольное движение, посвящена работа [37]. Предложенные алгоритмы расчета течений вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье – Стокса являются эффективными и экономичными инструментами проведения научных исследований отрывного обтекания произвольно движущихся тел, расчета нестационарных гидродинамических нагрузок на тела и нестационарного теплообмена. Полученные в работе выражения позволяют объединить уравнения движения тел с гидродинамическими уравнениями в единую систему, позволяющую расширить возможности решения сопряженных задач движения тел под действием гидродинамических сил.
Изучению конвективных течений вязких теплопроводных жидкостей всегда уделялось много внимания в связи с важностью этих процессов для приложений. В последнее время интенсивное развитие теории и численных экспериментов по конвекции связано с активным изучением космического пространства. Стало особенно интересным предсказать поведение некоторых жидкостей в слабых гравитационных полях, сравнить эти результаты с экспериментами, обнаружить влияние свободных или частично деформируемых границ на поведение жидкости. Потребностями современных технологий обусловлен интерес к конвективным явлениям в микромасштабах [38]. Если для газов свойство сжимаемости или способность легко изменять плотность под действием изменений давления или температуры является естественным, то для жидкостей оно выражено слабо. Вместе с тем, учет в том или ином виде слабой сжимаемости приводит к интересным результатам.
Предметом исследования работы [38] являются математические модели, используемые для описания естественной конвекции жидкости в условиях пониженной гравитации и в микромасштабах.
Уточнению математической модели конвективного движения вязкой теплопроводной жидкости с переменными теплофизическими коэффициентами посвящена работа [39]. На основе разработанного эффективного численного метода решения задач конвективного движения исследованы характеристики течения и температурное поле жидкости при неравномерном нагреве границы. При изучении особенностей конвекции применяются упрощения, которые не искажая физической сути явления, позволяют исследовать ее с помощью доступных методов. В частности, рассматривается приближение Обербека-Буссинеска.
В работе [40] освещены особенности динамики конвективных течений, вызванных действием силы тяжести и градиентов температуры, приведена математическая модель, описывающая их поведение, а также условие механического равновесия жидкости при нагреве, условия возникновения устойчивого и неустойчивого конвективных течений. Приведены законы подобия для свободной конвекции и теплопередачи. С учетом несжимаемости жидкости, а также при принятии еще ряда допущений, исходная система уравнений значительно упрощена. Соответствующие приближенные уравнения называют уравнениями конвекции в приближении Буссинеска.
Математическая модель конвекции жидкости рассматривается [41] в условиях слабой гравитации. Жидкость принимается слабо сжимаемой средой. На основе предложенной ранее математической модели конвекции слабо сжимаемой жидкости изучается нестационарное конвективное движение в вертикальной полосе, на твердых границах которой задается периодический по времени тепловой поток. Эта модель конвекции позволяет изучить задачу в условиях, когда граничный тепловой режим колеблется в противофазе. В работе выписываются точные решения для компонент скорости и температуры и численно выстраиваются траектории движения жидких частиц.