Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Обухов А. Г., Сорокина Е. М.,
§3. Особенности аналитического и численного моделирования различных задач конвекции сплошных сред
Полную систему уравнений Навье – Стокса можно использовать для расчета сложных полей течений, для которых неприменимы уравнения пограничного слоя. В некоторых случаях только ее и можно применять. К сожалению, уравнения Навье – Стокса с трудом поддаются численному решению, поскольку это сопряжено с большими затратами машинного времени и памяти. Особенно это касается уравнений Навье – Стокса для сжимаемой сплошной среды, которые образуют смешанную систему эллиптически-параболических уравнений для стационарных течений и гиперболически-параболических уравнений для нестационарных течений [42].
Даже для расчета стационарных течений применяется зависящая от времени процедура решения, т.е. нестационарные уравнения Навье – Стокса интегрируются по времени до тех пор, пока не будет достигнуто установившееся решение. Поэтому, при расчете трехмерных течений с использованием уравнений Навье – Стокса для сжимаемой сплошной среды, фактически необходимо решать четырехмерную задачу.
Для целого ряда задач расчета течения вязкой сплошной среды нельзя получить точное решение при помощи упрощенных уравнений Навье – Стокса. В этих случаях необходимо решать полную систему уравнений Навье – Стокса. К сожалению, эта система уравнений очень сложна, и ее решение требует больших затрат машинного времени. Если среда несжимаема, то уравнения существенно упрощаются, и соответственно уменьшается время, необходимое для их решения.
Как уже говорилось, нестационарные уравнения Навье – Стокса для сжимаемой сплошной среды образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений относительно времени. Если в этих уравнениях опустить нестационарные члены, то полученная смешанная система будет гиперболически-эллиптического типа, решать которую трудно из-за несходства методов численного решения уравнений гиперболического и эллиптического типов. Поэтому, все удачные случаи решения системы уравнений Навье – Стокса для сжимаемой среды, связаны с нестационарной формой этой системы уравнений.
Для численного решения зависящих от времени систем уравнений Навье – Стокса для сжимаемой сплошной среды использовались как явные, так и неявные расчетные схемы. Почти все эти схемы имеют второй порядок точности по пространству и либо первый, либо второй по времени. Если требуется получить точную картину развития течения во времени, то порядок схемы по времени должен быть, по крайней мере, вторым. Если же представляет интерес только установившееся решение, то часто пользуются не только точными по времени схемами, так как выход на стационар можно получить за меньшее число шагов по времени. Ввиду большой дополнительной сложности имеется мало работ о применении схем третьего порядка (и выше) в расчетах уравнений Навье –Стокса для сжимаемой сплошной среды. Многие исследователи
полагают, что выбор схем второго порядка является оптимальным, поскольку большая точность требует существенно больших затрат машинного времени и ресурсов.
Большая обзорная статья [43] посвящена расчетам уравнений Навье – Стокса для сжимаемой жидкости, выполненным до 1976 г. В ней рассматриваются проблемы, связанные с вычислением вязких сжимаемых потоков на основе численного решения уравнений Навье – Стокса. Общее введение в уравнения Навье – Стокса и обсуждения их применения в аэродинамических задачах. Обсуждаются следующие аспекты численных методов: ограничение расчетной области; граничные условия на внешней границе; различные подходы в конечно-разностных методах и описание некоторых типичных схем; граничные условия на твердой стенке; ударные волны; и общие соображения по точности и вычислительных шагов. Отмеченные расчеты двумерных или трехмерных потоков представлены в виде таблицы с краткими указаниями по проблемам обработанных и используемых методов.
Применение схемы Мак-Кормака [44] к уравнениям Навье – Стокса для сжимаемой жидкости приводит к явной схеме второго порядка, как по пространству, так и по времени. В этом варианте схемы на шаге предиктор для аппроксимации всех пространственных производных используются разности вперед, а на шаге корректор – разности назад. Разности вперед и назад можно последовательно чередовать как на шагах предиктор–корректор, так и при аппроксимации производных по трем пространственным координатам. Это устраняет рассогласование, обусловленное дискретизацией односторонними разностями.
Численные расчеты уравнений Навье – Стокса для сжимаемой жидкости иногда «разваливаются» из-за осцилляций, которые являются следствием неадекватного измельчения сетки в областях больших градиентов. Во многих случаях измельчение сетки в этих областях лишено практического смысла, особенно если они сильно удалены от рассматриваемой области. Для таких ситуаций Мак-Кормак и Болдуин [45–48] разработали сглаживающую схему четвертого порядка, в рамках которой в уравнения Навье – Стокса добавляется член с искусственной вязкостью. Величина этого сглаживающего члена очень мала везде, кроме областей резких осцилляций давления, в которых аппроксимация без сглаживания приводит к ошибочным результатам.
Одним из первых для решения системы уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости, записанных относительно переменных u, v, w, p, был предложен метод искусственной сжимаемости [49]. В этом методе в уравнение неразрывности включен член с искусственной сжимаемостью, который обращается в нуль, когда решение выходит на стационарный режим во времени. При этом уравнения Навье – Стокса образуют смешанную систему гиперболически-параболических уравнений, которая решается обычным методом установления.
В монографии [50] систематизированы полученные в последние годы результаты изучения процессов конвекции, тепло- и массообмена на основе двумерных нестационарных уравнений Навье – Стокса в приближении Буссинеска. Рассмотрены методы численного решения уравнений Навье – Стокса и ускорения расчетов с помощью конвейерной обработки, методы графической и статистической обработки результатов расчетов. Изложены математические модели и результаты исследований конвекции, тепло- и массообмена для технических, технологических приложений, в геофизической гидродинамике. Приведены сведения о специальном математическом обеспечении, разработанном для решения данного класса задач.
В [51] проводится поиск границ устойчивости и анализ геометрических факторов, определяющих вид вторичных структур ламинарных естественно-конвективных течений после потери устойчивости в наклонных каналах прямоугольного сечения. Исследование проводится численно на модели вязкой несжимаемой жидкости, движение которой описывается системой уравнений Навье – Стокса и уравнения теплопроводности в приближении Буссинеска. Для получения решения используется конечно-разностный метод, а для анализа устойчивости в линейном приближении – псевдоспектральный метод.
Проведено прямое численное исследование течений несжимаемой вязкой жидкости внутри тороидального канала, вращающегося вокруг внешней оси симметрии [52]. Разобраны случаи установившегося и развивающегося течений при различных видах воздействий, вызывающих движение вдоль канала. Особое внимание уделено ранее игнорировавшемуся случаю толстого тора. Проведено сравнение с аналитическими методами и данными экспериментов. Сравнение с известной аппроксимацией Дина выявило области параметров, в которых для задания течения недостаточно одного параметра. Приведены карты установившихся режимов течения. В нестационарном случае обнаружено временное нарушение симметрии течения относительно центральной плоскости.
Стационарные течения в двухслойной системе «жидкость-газ» с испарением на термокапиллярной границе раздела изучаются с помощью точных решений уравнений Навье – Стокса в приближении Обербека – Буссинеска [53]. Учитываются эффекты Соре и Дюфура в верхнем газопаровом слое. Точные решения имеют такой вид, когда только продольная компонента скорости отлична от нуля и зависит от поперечной координаты. Распределение температуры, давление и концентрация пара в слое газа линейно зависят от продольной координаты и имеют зависящую от поперечной координаты составляющую. Данные решения могут быть названы обобщением известного решения о конвекции в горизонтальном слое со свободной границей [54]. Осуществляется постановка задачи для моделирования двухслойных конвективных течений с учетом испарения в случае заданного расхода газа. При этом соотношение для концентрации насыщенного пара на свобрдной границе определяется как следствие уравнений Клапейрона – Клаузиуса и Менделеева – Клапейрона. Особенности течений исследованы для двух типов краевых
условий для концентрации пара на верхней твердой границе: в случае нулевой концентрации пара и в случае нулевого потока пара. Проводится сравнение топологии и характеристик течений для жидкости с нормальным и аномальным термокапиллярным эффектом. На основе точных решений исследуется влияние продольных градиентов температуры, заданных на границах, величины расхода газа, высоты жидкого слоя на структуру течений и распределение температуры, а также на процесс диффузии пара и интенсивность испарения на границе раздела. Представлены примеры профилей скорости, температуры и концентрации пара.
В [55] численно исследуется задача о течениях насыщенной газом жидкости, заполняющей сферический слой со свободными границами и содержащей внутри себя газовый пузырек. Математическая модель включает в себя уравнения Навье – Стокса, переноса тепла и диффузии пассивной примеси газа, а также условия на свободных границах: кинематические и динамические условия, закон Генри, связывающий концентрацию газа на границе области с давлением вне этой области, соотношение, определяющее баланс энергии, и условие непрерывности температуры на внутренней свободной границе. Внутри пузырька газа считается выполненным уравнение Менделеева – Клапейрона, а на внешней свободной границе определен теплообмен с внешней средой с помощью условий первого или третьего рода. При этом полагается, что коэффициенты переноса являются функциями температуры. Проведен параметрический анализ задачи, построен и протестирован численный алгоритм, включающий в себя метод прогонки с параметром, роль которого играет неизвестное значение температуры на внутренней границе в каждый момент времени. Исследовано, что помимо диффузионных факторов значительное влияние на динамику сферического слоя и процессы тепло- и массопереноса в нем оказывает внешний тепловой режим. Найдены качественные и количественные различия в характеристиках течений в случае, когда на внешней свободной границе заданы условия для температуры первого или третьего рода.
С помощью прямого численного моделирования в [56] исследовано течение несжимаемой жидкости во вращающемся тороидальном канале, инициированное различными силами. Показано, что интегральные характеристики зависят не только от ранее рассматривавшихся параметров. Рассмотрен вопрос нарушения симметрии при формировании стационарного течения. Найдены параметры, при которых на вторичном течении образуется пара добавочных вихрей.
В [57] изучено поведение чистой воды в квадратной ячейке. Проанализированы стационарные решения и их количество в зависимости от числа Грасгофа при постоянном числе Прандтля, зависимость тепловых потоков на верхней и нижней границах от времени и эволюционное развитие конвективного движения в зависимости от начальных условий.
Численно исследовалась смешанная конвекция воды в квадратной полости с движущейся верхней границей, вблизи точки инверсии плотности [58]. Изучалось влияние скорости движения верхней границы и экстремума плотности воды на структуру конвективных течений в стационарном состоянии и на характеристики теплообмена. В работе представлены графики и рисунки, иллюстрирующие эволюцию стационарных решений при изменении числа Рейнольдса. Показано, что в данной задаче в соответствующем диапазоне чисел Рейнольдса существуют два различных типа стационарных решений.
В [59] представлены результаты численного исследования влияния инверсии плотности холодной воды на течение и теплообмен в горизонтальном плоскопараллельном канале с изотермическими верхней и нижней стенками. Расчеты проводились при варьировании температуры стенок канала при сохранении разности их температур.
Проведен численный анализ задачи гидродинамики и теплообмена при стационарном, полностью развитом течении вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе с внутренними кольцевыми ребрами [60]. Построена численная модель для расчета ламинарных течений с постоянной мощностью, затрачиваемой на прокачку. Приведены результаты исследования высоты ребер и их числа на гидравлические характеристики, и теплообмен в канале.
Численно исследована [61] нестационарная естественная конвекция в квадратной полости, расположенной под углом к горизонту. Одна из сторон полости поддерживалась при постоянной температуре, другая при изменяющейся по синусоидальному закону температуре. Две другие стороны полости полагались адиабатическими. Численные решения получены в широком диапазоне изменения частоты колебаний температуры одной из стенок квадратной полости.
Исследуется [62] свободный конвективный перенос тепла в квадратной полости при периодическом изменении температуры одной из стенок.
Течения нескольких несмешивающихся жидкостей, расслоенные или разделенные течения, возникают в нефтегазовых скважинах и трубопроводах при транспортировке различных газожидкостных смесей. Практическое применение таких течений определяет актуальность решения подобных задач и вызывает большой интерес исследователей. Численное решение соответствующих дифференциальных уравнений является одним из основных методов изучения и анализа задач этого класса. В [63] численно исследована задача разделенного течения двух вязких несжимаемых жидкостей в плоскопараллельном горизонтальном и слабо наклоненном к горизонту канале. Разработан алгоритм определения границы раздела между жидкостями. Для системы вода-нефть во всех вариантах расчетов найдены и проанализированы поле течения, давление, граница раздела жидкостей, трение на стенках канала, профили скоростей в сечениях канала. Среди работ, близких к рассматриваемой проблеме, можно указать работы [64–67].
В работе [68] на основе метода контрольного объема и модифицированного алгоритма в полной постановке численно решена нестационарная задача о нагреве совершенного газа в плоском ограниченном слое.
В настоящее время возрастает интерес к термоакустическим волнам. Это обусловлено возможностью их использования в качестве одного из механизмов переноса энергии. Краткий обзор наиболее значимых работ в области термоакустической конвекции можно найти в работах [69, 70]. В [71] проведено исследование влияния термоакустических волн на теплоперенос в слое сжимаемой среды. В результате проведенного исследования установлено, что решение задачи не зависит от вязкости газа и определяется тремя критериями подобия. Термоакустические волны могут интенсифицировать процесс теплопереноса и ускорить выход системы на предельную конфигурацию.
В [72] рассмотрены стационарные естественно-конвективные течения жидкости в квадрате. В результате численного моделирования обнаружены 12 стационарных решений задачи. Изучено поведение течений при изменении числа Грасгофа. Рассмотрена эволюция течений и приведены зависимости безразмерных тепловых потоков от числа Грасгофа.
Численно исследована стационарная естественная конвекция в наклонной квадратной полости с двумя изотермическими и двумя адиабатическими стенками [73]. Получены явления гистерезиса и изучены стационарные течения в зависимости от угла наклона при разных числах Грасгофа. Установлено явление гистерезиса для аналогичной трехмерной постановки задачи.
В работе [74] численно исследовалось влияние эффектов сжимаемости на распределение температуры, давления, скорости и плотности в плоском слое совершенного вязкого газа при заданных периодических термических граничных условиях. Возникновение термоакустических волн существенно интенсифицирует нагрев области в среднем за период при воздействии температурных волн с частотой равной собственной частоте системы и при её кратном увеличении, при уменьшении частоты происходит охлаждение области в среднем за период.
Разработана математическая модель вибрационного движения области, заполненной вязким газом [75]. Проведены расчеты задачи в одномерной постановке. Получены максимальные значения температуры и давления газа у границ области в зависимости от частоты вибрации.
Проведено численное исследование процессов тепломассообмена в области, подверженной вибрационному воздействию [76]. Описано влияние частоты вибрации на поведение характеристик газа, находящегося внутри области. Задача решалась в одномерной постановке.
В [77] проведено численное исследование стабилизированного течения жидкости в плоском канале с вязкостью, зависящей от температуры.
В [78] численно исследуется влияние вибрации на поведение совершенного вязкого газа внутри прямоугольной полости. Сравниваются процессы тепломассообмена газа в области при изотермических и адиабатических граничных условиях. Задача решается в одномерной постановке.
В работе [79] приведены результаты численного решения одномерной задачи о стабилизированном течении несжимаемой жидкости в плоском канале. Вязкость жидкости экспоненциально зависит от температуры.
В работе [80] численно исследован процесс переноса тепла в наклонной полости, заполненной жидкостью и находящейся в поле силы тяжести. Температура на боковых вертикальных сторонах изменялась определенным образом. Остальные стенки предполагались адиабатическими.
В [81] проведено численное исследование естественной конвекции и фазовых переходов в прямоугольных и цилиндрических полостях и создание пакета программ для моделирования данных процессов.
Методы, успешно применяемые не только для решения задач свободной конвекции, но и решения задач гидродинамики изотермической вязкой несжимаемой жидкости изложены в книге [82]. Детально описаны возможности численных методов применительно к различным задачам конвекции.
Ретроспективная задача, состоящая в восстановлении неизвестного начального состояния высоковязкой несжимаемой жидкости по ее известному финальному состоянию, решается в [83]. Модель динамики жидкости в приближении Буссинеска описывается уравнениями Стокса, несжимаемости и теплового баланса с соответствующими начальными и граничными условиями. Для решения задачи в обратном направлении времени разработан новый итерационный подход, позволяющий свести неустойчивую исходную задачу к серии устойчивых задач.
Численному исследованию естественных конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости в сферическом слое, границы которого могут вращаться под действием сил трения со стороны жидкости, посвящена работа [84]. Рассматриваются особенности приближения Буссинеска в инерциальной и в равномерно вращающейся системах отсчета, и устанавливается связь между этими моделями. Обосновывается выбор инерциальной системы отсчета. Описывается метод моделирования граничных условий, учитывающий возможность вращения обеих границ слоя под действием сил вязкого трения.
Проведен анализ результатов вычислительных экспериментов по моделированию свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферических объемах [85]. Математическая модель такой физической картины представляется уравнением Навье – Стокса в формулировке Обербека – Буссинеска с соответствующими начальными и краевыми условиями.
Проведено [86] математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции в вертикальной цилиндрической емкости с теплопроводными стенками конечной толщины при наличии локального источника энергии в основании области в условиях конвективного теплообмена с окружающей средой. Процесс теплопереноса описывается системой нестационарных двумерных уравнений конвекции в приближении Буссинеска в безразмерных переменных «функция тока – вектор завихренности скорости – температура» в цилиндрических координатах.
Подводя итог краткому обзору литературных источников и публикаций по математическому и численному моделированию конвективных течений сплошной среды, следует сделать несколько замечаний и выводов.
Несмотря на достаточно большое количество публикаций, обилие экспериментальных исследований, различных подходов в выборе математических моделей и способов их численной реализации, возможности адекватного описания и практического применения конвективных течений сплошной среды далеки от завершения.
Прежде всего, для описания устойчивых конвективных течений сплошной среды часто используются стационарные модели, в которых отсутствует зависимость параметров движущейся среды от времени. С точки зрения математического и численного моделирования такой подход значительно упрощает процесс описания конвективных течений.
Кроме того, в большинстве публикаций рассматривается описание конвективных течений в одномерном или двумерном случае, и лишь в некоторых работах предпринимается попытка моделирования и описания трехмерных течений сплошной среды в замкнутых объемах.
Широко распространенным является выбор математической модели, использующей уравнения Навье – Стокса в приближении Обербека – Буссинеска для несжимаемой или слабо сжимаемой сплошной среды. Такой подход частично оправдан с точки зрения упрощения математического и численного моделирования конвективного течения жидкости, но не является адекватным при описании подобных течений для газа.
Проблемой является и последовательный учет диссипативных свойств движущейся сплошной среды – вязкости и теплопроводности. Наличие диссипативной функции в полной системе уравнений Навье – Стокса резко усложняет ее аналитическое и численное решение. Поэтому часто прибегают к введению в рассмотрение искусственной вязкости, искусственной сжимаемости.
Поэтому встает задача преодоления указанных выше трудностей при описании нестационарного, трехмерного, свободного конвективного движения сжимаемой вязкой теплопроводной сплошной среды под действием силы тяжести. Тем более что в последнее время были проведены во многом успешные исследования сложных нестационарных трехмерных течений вязкого, сжимаемого, теплопроводного газа в восходящих закрученных потоках [87–115]. В основе этих исследований лежит аналитическое и численное решение полной системы уравнений Навье – Стокса в условиях действия сил тяжести и Кориолиса.