Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

2.4.3. Экономическая интерпретация двойственной задачи

Экономическую интерпретацию покажем на задаче производственного планирования, рассмотренной в начале пункта 2.4.1. Пусть х оптимальное решение задачи

max f = cx,

Ax ≤ b;

x ≥ 0.

Выясним как будет меняться оптимальное решение x* при изменений компонент вектора b и, в частности, при каких вариациях b + Δb оптимальное решение остается неизменным? Это, так называемая, проблема устойчивости оптимального решения. Действительно, на практике объемы доступных ресурсов могут колебаться после принятия плановых решений. Поэтому предположим, что вектор ресурсов b может изменится на величину Δb и это приведет к появлению вариации оптимального решения x*(b + Δb) и целевой функции f(x*(b + Δb)). Рассмотрим отношение приращения целевой функции к приращению ресурса Δb. Если для некоторого i устремить Δbi → 0, то получим

shukaev123.wmf

Учитывая, что в соответствии с теоремой 2.7

shukaev124.wmf

получим

shukaev125.wmf

Из этого соотношения вытекает экономическая интерпретация оптимальных переменных двойственной задачи. Каждый элемент shukaev126.wmf может рассматриваться как предельная оценка вклада i-го ресурса в суммарный доход f при оптимальном решении х*, т.е. величина shukaev127.wmf равна приросту дохода, возникающему при увеличении ресурса i на единицу при условии оптимального использования ресурсов.

На основе теорем двойственности для пары задач линейного программирования могут быть сформулированы некоторые важные (с точки зрения экономической интерпретации) следствия [21]:

если для оптимального решения исходной задачи i-е ограничение выполняется как строгое неравенство:

shukaev128.wmf

то shukaev129.wmf, следовательно, bi-й ресурс в избытке и это ограничение становится несущественным и оценка (теневая цена) такого ресурса равна нулю;

если для оптимального решения двойственной задачи j-е ограничение выполняется как строгое неравенство

shukaev130.wmf

то оптимальное значение соответствующей переменной исходной задачи равно нулю. Действительно, при превышении удельных затрат над доходом от j-го продукта его производство будет нерентабельным и поэтому должно быть

shukaev131.wmf.


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074