Научная электронная библиотека

Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

Прикладные задачи динамики ледяного покрова

Козин В. М., Жесткая В. Д., Погорелова А. В., Чижиумов С. Д., Джабраилов М. Р., Морозов В. С., Кустов А. Н.,

1.2.2 Колебания ледяного покрова

Задача о распространении волн в ледяном покрове вызвала к себе интерес еще в конце XIX века. В 1887 г. появилась одна из первых работ, посвященных этому вопросу (Greenhill, A.G. Wavemotion in hydrodynamics). Несколько позже, в 1916 г, выходит работа того же автора, где исследуется движение нагрузки по ледяному покрову. А.Гринхилл впервые получил уравнение, связывающее фазовую скорость с волновым числом. В основе исследований лежало рассмотрение потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести с нелинейными граничными условиями на свободной поверхности, моделирующими влияние ледяного покрова [124].

Влияние сжимаемости воды на распространение упругих волн во льду оценено в работе А.Крэри и др. [136]. Сопоставляя результаты теоретических исследований с экспериментальными данными, авторы пришли к выводу, что при длинных волнах, для которых справедлива теория слабого изгиба тонких пластин, влияние сжимаемости воды пренебрежимо мало.

Значительные теоретические разработки были выполнены в период второй мировой войны С.С.Голушкевичем в связи с эксплуатацией “Дороги жизни”, проложенной по льду Ладожского озера [25]. В этой работе изложены результаты исследований влияния на НДС ледяного покрова волновых движений воды, вызванных действием приложенных ко льду подвижной и импульсной нагрузок. Наиболее подробно был рассмотрен случай, когда движущаяся нагрузка представляет собой плоскую прогрессивную синусоидальную волну и плоский фронт давления, а ледяной покров плавает на поверхности воды конечной глубины. На примере частных случаев распространения коротких волн в ледяном покрове С.С. Голушкевичем были впервые описаны физические процессы, сопровождающие распространение ИГВ. Рассматривая установившиеся колебания льда с учетом влияния его пластических свойств, автор получил приближенные графические зависимости прогибов и распределения напряжений в ледяном покрове от действия на него движущегося плоского фронта давления. Проведенные исследования выявили влияние скорости нагрузки на НДС ледяного покрова.

Значительным вкладом в развитие теории волновых колебаний льда была работа Ф.Пресса и М.Юинга [155], где рассматривалось распространение упругих волн в плавающем ледяном слое конечной толщины. Ими было получено характеристическое уравнение, связывающее волновое число с частотой.

Наиболее полно и глубоко вопросы динамики ледяного покрова были проработаны Д.Е.Хейсиным [124]. Автором была разработана математическая теория волновых процессов в плавающем на воде ледяном покрове. Полученные зависимости основаны на линейной теории волн достаточно большой длины. Для очень большого числа практических задач такое приближение является вполне допустимым. Способы решения, найденные автором для рассмотренных им частных случаев, допускают перенесение их и на родственные задачи. Несоответствие некоторых теоретических выводов результатам натурных экспериментов можно объяснить недостатками тех или иных моделей льда, принятых в решениях. Следует, правда, отметить, что ряд полученных зависимостей имеет не совсем удобную для применения в инженерных расчетах математическую форму (несобственные интегралы, в которых подынтегральные функции имеют особенности в области интегрирования).

Дальнейшее развитие ряд вопросов, затронутых Д.Е.Хейсиным, получил в работах В.Сквайра, Р.Хоскинга, А.Керра и П.Лангхорна [158].

В линейной постановке асимптотический анализ пространственных установившихся волн, возникающих при равномерном и прямолинейном движении области давления по изотропной упругой пластине, плавающей на поверхности слоя идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины, проведен в работе С.Ф.Доценко [32]. В системе возбуждаемых в пластине ИГВ автором выделены аналоги поперечных и продольных корабельных волн.

Некоторые нестационарные задачи динамики ледяного покрова в случае бассейна неограниченной глубины решены Д.Е.Хейсиным [125], а для случая плоской задачи рассмотрены С.Ф.Доценко и Л.В.Черкесовым для жидкости конечной глубины [33]. Позднее С.Ф.Доценко [34] был выполнен аналогичный приведенному в [32] асимптотический анализ неустановивших-

ся колебаний ледяного покрова, генерируемых областью давлений, движущейся равномерно и прямолинейно. Он же, также на примере плоских установившихся волн, возникающих в ледяном покрове от действия движущейся области поверхностного давления, исследовал влияние неоднородностей ледяного покрова и жидкости на развитие волновых давлений [32]. А.Е.Букатовым изучено влияние снежного покрова на распространение ИГВ, генерируемых в сплошном ледяном поле [3]. На примере частного случая, когда нагрузка задается в виде прогрессивной волны давления, а ледяной покров рассматривается как тонкая изотропная упругая пластина, показано заметное влияние снежного покрова на колебания льда при длинах волн давлений, близких к длине резонансной волны для системы “лед-вода”. Установлено, что с увеличением толщины снежного покрова и уменьшением толщины льда влияние снежного покрова на амплитуду волн возрастает. С понижением температуры атмосферного воздуха влияние снежного покрова также усиливается. Вопросам влияния слоя снега на характеристики ледяного покрова посвящена также работа В.В. Богородского, Е.И. Галкина [5].

В работах Д.Е.Хейсина [124] и А.Е.Букатова [4] рассматривался вопрос о влиянии продольного растяжения и сжатия на развитие в сплошном ледяном покрове ИГВ от действия движущихся нагрузок соответственно для установившихся и неустановившихся процессов.

Численный анализ распространения волн в стратифицированной жидкости с плавающим на поверхности ледяным покровом проведен Л.Б.Чубаровым [129]. Предложено три математические модели. В первом случае лед считается упругой пластиной, плавающей на поверхности идеальной жидкости (модель I). Во втором - лед рассматривается как жидкость с очень большой вязкостью, плавающая на поверхности “основной” жидкости (модель II). И в третьем - лед рассматривается как упругая пластина, но, в отличие от модели I, считается плавающим на поверхности стратифицированной несжимаемой идеальной жидкости (модель III). При использовании модели I оказалось, что амплитуды длинных волн очень слабо зависят от характеристик ледяного покрова, с увеличением толщины льда амплитуды волн уменьшаются, а скорость их распространения увеличивается. Эти результаты согласуются с выводами Д.Е.Хейсина [124]. В случае модели II оказывается, что ледяной покров не влияет на амплитуду длинных волн, снижая скорость их распространения с ростом частоты. Такой вывод впервые получен Ю.М.Крыловым [57] при рассмотрении ледяного покрова как слоя вязкой жидкости. Автор отмечает также, что при моделировании льда как упругой пластины амплитуда и скорость распространения волны получаются меньшими, чем когда лед считается жидкостью с очень большой вязкостью. При использовании модели III возникают две системы волн: поверхностные - на границе воды со льдом и внутренние - на поверхности раздела жидкости по плотностям. Расчеты показали, что с уменьшением плотности верхнего слоя амплитуда поверхностных волн уменьшается, а внутренних, так же как и их скорость, - увеличивается. При этом характеристики внутренних волн мало подвержены влиянию ледяного покрова.

В натурных условиях ледяной покров отвечает схеме трансверсально-изотропного упругого слоя, поскольку физико-механические свойства льда в составе ледяного покрова меняются по толщине. Упругие колебания плавающей ледяной пластины с учетом такой анизотропии рассмотрел Д.Л.Андерсон [130]. В работе A. Mukhopadhyay [151] исследовалась задача о перемещении нагрузки по плавающей трансверсально-изотропной упругой среде. Анализ этих работ, проведенный Д.Е.Хейсиным, а также результаты экспериментов позволяют сделать вывод о том, что вертикальная анизотропия льда сравнительно мало влияет на параметры напряженно-деформированного состояния нагруженного ледяного покрова и для практических целей вполне допустимо рассматривать последний как изотропную пластину. При этом анизотропию ледяного покрова по толщине можно учесть, вводя в расчет некоторые приведенные значения цилиндрической жесткости и плотности льда [36]. К такому выводу, рассматривая деформации и напряжения в плавающей ледяной пластине, пришли также А.Керр и В.Палмер [146], давшие примеры определения приведенной цилиндрической жесткости при разных законах изменения модуля Юнга по толщине льда.

Л.В.Черкесовым проведены исследования влияния ледяного покрова и вязкости жидкости на длинные волны, вызываемые периодическими давлениями [128]. На примерах плоской и осесимметричной задач установлено, что наличие ледяного покрова, рассматриваемого как упругая пластина, увеличивает декремент затухания и уменьшает длину волны по сравнению со случаем свободной воды. Влияние вязкости на уменьшение длины волны проявляется по-разному в зависимости от толщины ледяного покрова. Подобную задачу решал А.И.Лебедев [72].

Изучению волновых движений в жидкости, полностью или частично находящейся под ледяным покровом, посвящены работы Р.В.Гольдштейна и А.В.Марченко [29], А.В.Марченко и И.В.Прохорова [76], А.В.Марченко, В.И.Шрира [77], А.В.Марченко [78, 79]. Заметим, что здесь основное внимание было сосредоточено на поведении не ледяного покрова, который учитывался при составлении граничных условий задачи, а самой жидкости.

Некоторые вопросы установившихся и неустановившихся колебаний ледяного покрова, плавающего на поверхности воды конечной глубины, под действием периодической перемещающейся системы давлений, при наличии начальных деформаций рассмотрели А.Е.Букатов и Л.В.Черкесов [4, 6, 7, 8, 9, 10].

В работах А.Е.Букатова [11, 12] исследуются неустановившиеся колебания сплошного ледяного покрова, возникающие под действием атмосферных возмущений в условиях ледового сжатия.

Д.Е.Хейсиным [126] рассмотрено влияние неупругих свойств льда на характер изгиба в зависимости от режима нагружения. Автором было установлено, что модель Максвелла вполне удовлетворительно описывает изгиб плавающей ледяной пластины при действии медленно изменяющейся нагрузки.

Р.Хоскинг, А.Снейд и Д.Во [143] при исследовании поведения ледяной пластины, находящейся под действием стационарно движущейся линейной или точечной нагрузки, учли неупругие свойства льда с помощью двухпараметрической функции памяти. Введение последней означало, что силы упругости пластины считались зависящими не только от ее деформации в данный момент времени, но и от истории деформирования. Учет вязкоупругих свойств льда позволил добиться лучшего согласования теоретических и экспериментальных результатов, чем при использовании упругой модели ледяного покрова. Решение задачи получено в виде несобственных интегралов.

В 70-е годы под руководством проф. В.А.Зуева впервые были выполнены и затем получили дальнейшее развитие исследования по оценке ледоразрушающих свойств нагрузки, движущейся с критической скоростью. В работе [50] для случая мелкой воды приводится решение плоской задачи по определению минимально необходимого давления, достаточного для возникновения во льду предельных напряжений. Из зарубежных публикаций, посвященных сходной тематике, отметим появившиеся в 80-х годах работы Х. Бейтса и Л. Шапиро [131, 132], где также на примере плоской волны дается обоснование взламывания сплошного ледяного покрова ИГВ, возбуждаемыми водоизмещающими судами.

Первой стадией разрушения ледяного покрова, находящегося под действием нагрузки, является появление в нем сквозных трещин. Однако даже их частичное раскрытие не приводит к утрате работоспособности ледяного покрова как несущей платформы. Его несущая способность исчерпывается только тогда, когда он распадается на отдельные блоки, не способные нести нагрузки, превышающие их силу плавучести. Нагрузка, гарантирующая пролом льда, может в несколько раз превышать ту, при которой начинается трещинообразование. Как показано в работе В.М.Козина [58], несущая способность ледяного покрова может оцениваться с помощью максимальных относительных напряжений smax / sи , где sи - средний предел прочности льда на изгиб. Критерием для оценки ледоразрушающих способностей СВП предложено считать теоретическое значение максимальных относительных напряжений, уровень которых соответствует началу полного разрушения льда за движущимся СВП. В рассмотренных автором случаях движения нагрузки по бесконечному ледяному покрову потеря несущей способности происходила при smax / sи » 2.