Прикладные задачи динамики ледяного покрова
Козин В. М., Жесткая В. Д., Погорелова А. В., Чижиумов С. Д., Джабраилов М. Р., Морозов В. С., Кустов А. Н.,
Для решения систем (4.21) и (4.22) применим метод конечных разностей. Разобьем рассматриваемый промежуток времени на L равных участков; первую, вторую и третью производные в r-м узле сетки времени аппроксимируем разностными формулами
(4.23)
где Dt - шаг сетки, [q]m,r и [P]r - значение векторов [q]m и [P] в r-м узле.
Подстановка (4.23) в систему (4.21) приводит к матричным уравнениям в конечных разностях
(4.24)
r = 0,1,2,...,L ,
где ,
,
.
Аналогично, из (4.22) и (4.23) получим
(4.25)
r = 0,1,2,...,L ,
где,
,
.
Второму уравнению систем (4.24) и (4.25) можно удовлетворить, представив [q]m,r в виде
(4.26)
где [X]m - собственный вектор в случае однородного уравнения с матрицей , соответствующий собственному значению
, am,r - неизвестный коэффициент. Определение [X]m и
является первым шагом решения задачи.
Подставив (4.26) в первые уравнения систем (4.24) и (4.25), а также в начальные условия задачи, получим в каждом из этих случаев систему уравнений для определения am,r . Найдя am,r , вычислим узловые перемещения в узле сетки времени
(4.27)
Начальные условия в случае использования модели Кельвина-Фойгта примем в виде ,
. При использовании модели Максвелла добавим к этим условиям еще два:
,
. Функции
,
,
,
считаются известными.