Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания
Прикладные задачи динамики ледяного покрова
Козин В. М., Жесткая В. Д., Погорелова А. В., Чижиумов С. Д., Джабраилов М. Р., Морозов В. С., Кустов А. Н.,
5.3.1. Определение необходимого размера конечных элементов для корректной аппроксимации деформированной поверхности ледяной пластины
Правильный выбор размера конечных элементов при решении конкретных задач обеспечивает минимизацию требуемых вычислительных ресурсов при допустимом уровне совокупной погрешности дискретизации и вычислений. Приведем некоторые рекомендации по выбору оптимального размера конечных элементов для основных типов задач, рассмотренных в данной работе.
Для определения оптимального размера конечных элементов и оценки погрешности дискретизации при расчетах большинства рассматриваемых задач с помощью программы “CRACK” была рассчитана ледяная пластина размерами Lx = 1500 м , Ly = 200 м, при “стандартных” расчетных параметрах, с варьированием скорости движения нагрузки от 0 до 7 м/с. Расчеты выполнялись для двух дискретных моделей пластины: первая была построена из квадратных конечных элементов со стороной 50 м, а вторая – 25 м. Полученные с помощью программы “CRACK” решения сравнивались с известным аналитическим решением задачи о вязко-упругих колебаниях однородной изотропной ледяной пластины, лежащей на поверхности идеальной несжимаемой жидкости под действием движущейся распределенной нагрузки, с учетом подледного течения [59]. Данное аналитическое решение имеет вид двойных интегралов. Поэтому значения прогибов ледяной пластины рассчитывались методом численного интегрирования при аналогичных параметрах задачи, с решением которой производилось сравнение, при этом нагрузка распределялась по квадрату площадью 1 м2, что практически эквивалентно действию сосредоточенной силы, а скорость подледного течения принималась равной нулю. Форма деформированной поверхности участка ледяной пластины, рассчитанной на сетке с размером конечных элементов 25 м для случая v = 7 м/с, показана на рис. 5.24. Сравнительные результаты в виде графиков прогибов ледяной пластины представлены на рис. 5.25-5.31. Здесь график “1” соответствует аналитическому решению, график “2” – численному решению, полученному на сетке с размером элементов 25 м, “3” - численному решению, полученному на сетке с размером элементов 50 м. Как видно из графиков, решения, полученные на двух сетках с размером элементов 25 и 50 м качественно хорошо согласуются с аналитическим решением. При этом ясно видно, что с уменьшением размера конечных элементов количественные различия уменьшаются, т.е. можно говорить, что с уменьшением размера элементов сетки численное решение стремится к некоторому решению, достаточно близкому к аналитическому. Абсолютные значения максимальных прогибов, получаемые при аналитическом решении wmaxa , максимальные прогибы при численном решении, полученном на сетке с размером элементов 25 м wmax25, а также их относительная погрешность δ представлены в таблице 5.2 для различных скоростей v движения нагрузки. Из данных, приведенных в этой таблице, видно, что использование квадратных конечных элементов со стороной 25 м дает возможность получать численные решения рассматриваемых задач со вполне удовлетворительной погрешностью по отношению к аналитическим решениям, составляющей порядка 5 %, за исключением случая статического приложения нагрузки. В этом случае, деформированная поверхность ледяного покрова имеет несколько большую кривизну, чем в случаях движущихся нагрузок и, поэтому, дискретизация ледяной пластины должна быть более подробной.
Рис. 5.24. Прогибы ледяной пластины при v = 7 м/с
Таблица 5.2.
| v, м/с | wmaxa, м | wmax25, м | δ, % |
| 0 | 0,05492 | 0,04781 | 13 |
| 2 | 0,04074 | 0,03913 | 3,9 |
| 3 | 0,03836 | 0,03697 | 3,6 |
| 4 | 0,03735 | 0,03506 | 6 |
| 5 | 0,03781 | 0,03609 | 4,5 |
| 6 | 0,04091 | 0,0413 | 1 |
| 7 | 0,05516 | 0,05236 | 5 |
Рис. 5.27. Сопоставление аналитического решения с численными, полученными на сетках с размером элементов 25 и 50 м, при v=3 м/с
Рис. 5.5. Сопоставление аналитического решения с численными, полученными на сетках с размером элементов 25 и 50 м, при v=4 м/с
Рис. 5.6 Сопоставление аналитического решения с численными, полученными на сетках с размером элементов 25 и 50 м, при v=5 м/с
Рис. 5.30. Сопоставление аналитического решения с численными, полученными на сетках с размером элементов 25 и 50 м, при v=6 м/с
Рис. 5.31. Сопоставление аналитического решения с численными, полученными на сетках с размером элементов 25 и 50 м, при v=7 м/с