Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

1.3. Система матричных дифференциальных уравнений задачи

Используя алгоритм метода конечных элементов, построим дискретную модель ледяной пластины и положим, что

, (1.11)

где Ni(x,y) - функции формы, qim(t) - компоненты вектора узловых перемещений [q]m(t):

, (1.12)

n - число узловых перемещений, оно же – число степеней свободы дискретной модели, поскольку перемещения в любой точке дискретной модели полностью определяются набором узловых перемещений. Тот же смысл эта величина имеет и в формулах (1.5), (1.6). Значение n связано с типом и количеством конечных элементов, образующих дискретную модель ледяной пластины. Необходимое для достижения достаточной точности число конечных элементов оценивается отдельно для каждой конкретной задачи.

Прогиб пластины

,

где

.

Величины qi(t) являются компонентами полного вектора узловых перемещений [q](t):

. (1.13)

Для получения разрешающей системы уравнений задачи применим обобщенный метод Бубнова-Галеркина.

Из первого уравнения системы (1.10), интегрируя по площади пластины S, получим

.

и затем

 

.

(1.14)

Интеграл входящий в (1.14), можно привести к виду

.

.

.

,(1.15)

где Г - граница области S, - производная по нормали к Г.

В ряде случаев вместо (1.15) можно использовать аналогичную, но более простую зависимость:

.

.

. (1.16)

Укажем некоторые типы граничных условий, приводящих к нулевому значению интегралов по контуру в (1.15), (1.16) [2]. Во всех случаях рассматривается прямоугольная пластина; оси x и y совмещены с ее продольной и поперечной кромками.

1. Пластина жестко заделана по контуру.

2. Одна из продольных кромок (y = b) пластины совершенно свободна, остальные кромки жестко заделаны.

3. Одна из поперечных кромок (x = a) совершенно свободна, остальные - жестко заделаны.

Если интегралы по контуру Г в (1.16) равны нулю, то (1.14) принимает вид

.

.

. (1.17)

На основании (1.11) вариация перемещения wm

.

Внося wm в форме (1.11) и dwm в (1.17) и сокращая на dqjm , получим:

.

.

, j=1,2,....,n . (1.18)

Обозначим

(1.19)

(1.20)

В случае использования формулы (1.15) получим вместо (1.19)

.

. (1.21)

С учетом обозначений (1.19), (1.20), (1.21) формула (1.18) примет вид

.

(1.22)

Полученную систему уравнений (1.22) можно записать в виде матричного уравнения

, (1.23)

где элементы mi j матрицы [M]m находятся по формуле

,

элементы ci j матрицы [C] - по формуле

,

элементы ki j матрицы [K] - по формуле

,

а [P](t) - вектор внешних узловых нагрузок, компоненты которого определяются следующим образом:

.

Рассмотрим теперь второе уравнение системы (1.10). Принимая в качестве весовой функции величину пропорциональную jm (см. уравнение (1.9)), согласно методу Бубнова-Галеркина можем написать, что

. (1.24)

Это выражение, интегрируя по частям и учитывая граничное условие , можно привести к виду

.

. (1.25)

Подставив в (1.25) wm в форме (1.11) и dwm = Nj(x,y)dqjm(t), после сокращения на получим

. (1.26)

Вводя обозначение

, (1.27)

перепишем (1.26) в виде

.

Полученную систему уравнений представим в матричной форме:

, (1.28)

где .

Таким образом, исходные зависимости задачи с помощью МКЭ сведены к системе двух матричных уравнений (1.23) и (1.28):

(1.29)


Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074