Научная электронная библиотека
Монографии, изданные в издательстве Российской Академии Естествознания

3.1.1. Задача 1. Движение нагрузки с начальным ускорением

Сосредоточенная сила Р в начальный момент времени имеет нулевую скорость и находится в точке А (см. рис. 3.1). При этом ледяная пластина имеет соответствующий статический прогиб.

Закон движения силы Р принят следующий: Р начинает двигаться по оси x с постоянным ускорением, за время t0 приобретает заданную скорость v и продолжает дальнейшее движение в том же направлении с этой скоростью. При решении задачи рассматривался период времени, за который Р перемещалась от точки А до точки В (см.рис. 3.1). Параметры задачи имели следующие значения: P = 0,4×106 Н; a = 50 м; v = 4 м/с; t0 = 25 с;
Е = 0,73×1010 Пa; n = 0,3; толщина льда h = 0,5 м; глубина водоема H = 5 м; плотность льда ri = 900 кг/м3; плотность воды rw = 1000 кг/м3; время релаксации деформаций tf = 10 с. Шаг сетки времени Dt был принят равным 0,3125 с. Для выбора Dt задача предварительно решалась при разных, постепенно убывающих, значениях последнего. То значение Dt, начиная с которого результаты решения становились практически неизменными, и принималось в качестве расчетного.

Результатами решения задачи являются значения перемещений и напряжений в узловых точках дискретной модели ледяной пластины в заданные моменты времени, соответствующие узлам сетки времени. В таблицах 3.1, 3.2 (они представляют собой распечатки результатов работы программы) приведены значения узловых перемещений пластины для двух моментов времени. В заголовках таблиц даны номера узлов дискретной модели (рис. 3.2). Для каждого узла в столбце таблицы даны, в порядке перечисления, прогиб w (м), угол поворота (рад), угол поворота (рад), вторая смешанная производная (1/м).

.

 

Рис. 3.2. Номера конечных элементов (цифры в кружках) и узлов дискретной модели в задаче 1.

 

В таблице 3.3 приведены значения напряжений на поверхности ледяной пластины , , (для краткости в таблицах и на графиках эти напряжения обозначены sx , sy , txy соответственно) определенных по формулам (1.45), для момента времени, когда Р проходит узел 11. Напряжения вычислялись в ряде точек (x, y), взятых в пределах конечных элементов 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, расположенных поблизости от места приложения силы Р (см. рис. 3.2, где указанная область выделена темным цветом). Напряжения в прочих элементах не приводятся ввиду их малости.

 

 

 

 

Таблица 3.1

 

Узловые перемещения при статическом приложении силы Р в точке А (узел 2) перед началом движения

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :            1          :          2          :          3          :          4           :         5         :

  ----------------------------------------------------------------------------------------

        .3709E-02     -.2964E-01      .3709E-02     -.1511E-03      .3708E-02

       -.4128E-03     -.9843E-11      .4128E-03      .2912E-04      .1910E-11

       -.5857E-05      .1202E-03     -.5857E-05     -.3299E-04      .4316E-03

       -.2108E-05      .1311E-12      .2108E-05     -.6832E-05      .5092E-12

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :            6           :         7           :         8           :         9           :        10       :

  ----------------------------------------------------------------------------------------

       -.1511E-03     -.4497E-04      .1381E-03     -.4497E-04     -.5078E-05

       -.2912E-04      .8063E-05     -.3184E-12     -.8063E-05      .1030E-05

       -.3299E-04     -.7235E-05      .1787E-04     -.7235E-05     -.6802E-06

        .6832E-05     -.1305E-05      .1274E-12      .1305E-05     -.1601E-06

  -----------------------------------------------------------------------------------------

  :           11           :        12          :        13          :        14          :        15        :

  -----------------------------------------------------------------------------------------

        .8901E-05      -.5078E-05     -.3498E-06      .9380E-06     -.3498E-06

       -.1393E-12      -.1030E-05      .1186E-06     -.6966E-13     -.1186E-06

        .1342E-05      -.6802E-06     -.4921E-07      .1424E-06     -.4921E-07

        .5841E-13       .1601E-06     -.1831E-07      .1659E-13       .1831E-07

  -----------------------------------------------------------------------------------------

  :           16          :         17          :         18           :        19         :       20        :

  -----------------------------------------------------------------------------------------

       -.2931E-07       .1001E-06      -.2931E-07     -.3024E-08      .1100E-07

        .1343E-07      -.1679E-13      -.1343E-07      .1557E-08     -.3557E-14

       -.4373E-08       .1514E-07      -.4373E-08     -.4352E-09      .1571E-08

       -.2064E-08       .3402E-14       .2064E-08      -.2232E-09      .5497E-15

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :           21          :         22          :         23          :        24         :        25       :

   ---------------------------------------------------------------------------------------- 

        -.3024E-08

        -.1557E-08

        -.4352E-09

         .2232E-09

 

 

 

Таблица 3.2

 

Узловые перемещения в момент прохождения силой Р узла 11 (задача 1)      

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :           1           :         2           :         3            :        4           :          5        :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

        .3530E-03      .4416E-03      .3524E-03     -.6307E-03     -.7017E-03

       -.4582E-05      .4659E-08      .4573E-05      .1145E-04      .1293E-07

       -.6617E-06      .2696E-04     -.6346E-06      .2946E-05     -.1019E-03

        .2940E-06      .2070E-10     -.2939E-06     -.2391E-05     -.2971E-09

  ----------------------------------------------------------------------------------------

  :            6           :         7           :         8           :          9           :         10     :

  ----------------------------------------------------------------------------------------

       -.6308E-03      .2147E-02      .2112E-02      .2146E-02      .3683E-03

       -.1146E-04     -.2507E-03      .3108E-08      .2507E-03     -.7866E-04

        .2946E-05     -.4500E-04      .5315E-03     -.4501E-04      .1145E-03

        .2391E-05     -.1850E-05     -.3386E-09      .1849E-05      .1285E-04

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :         11           :        12          :        13           :       14          :        15        :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

       -.2703E-01      .3686E-03     -.2719E-03      .7104E-05     -.2713E-03

        .9728E-08      .7868E-04     -.2026E-05      .2742E-09      .2028E-05

       -.9283E-03      .1145E-03     -.1915E-04     -.3342E-04     -.1917E-04

       -.1518E-09     -.1285E-04     -.5999E-06      .7482E-09      .6002E-06

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :          16          :        17          :        18           :        19          :       20        :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

        .3173E-03      .5148E-03      .3173E-03      .2674E-03      .4114E-03

       -.6032E-05      .8611E-08      .6034E-05     -.5311E-05     -.9415E-09

       -.7105E-05     -.1011E-04     -.7100E-05      .6280E-05      .9910E-05

       -.1581E-06      .6927E-09      .1587E-06      .1232E-06      .4707E-09

  ---------------------------------------------------------------------------------------

  :           21          :        22          :        23          :       24           :        25       :

  ---------------------------------------------------------------------------------------

          .2669E-03

          .5308E-05

          .6266E-05

         -.1231E-06

Таблица 3.3

Напряжения при прохождении силы Р через узел 11 (задача 1)

 

x, м

y, м

sx , Па

sy , Па

txy , Па

 

100,0

125,0

150,0

175,0

200,0

225,0

250,0

275,0

300,0

 

50,0

50,0

50,0

50,0

50,0

50,0

50,0

50,0

50,0

 

2937,8

-11455

-28451

9679,6

62629

15885

-13094

133,93

-2026,3

 

 

9596,7

-7936,6

-67926

-1627,9

140990

77340

-9394,8

-1081,0

-1239,6

 

 

-11078

9887,5

9354,8

15409

-17318

-21355

15832

-1721,7

2698,8

 

 

100,0

125,0

150,0

175,0

200,0

225,0

250,0

275,0

300,0

 

25,0

25,0

25,0

25,0

25,0

25,0

25,0

25,0

25,0

 

-20193

-50283

100540

78822

-149400

-38544

73208

320,86

-3912,1

 

 

-10311

-18561

34102

37737

-29249

-10794

18704

233,41

-1910,4

 

 

-6311,5

23902

63166

-105580

-52471

86192

-8599,6

335,48

87,805

 

 

100,0

125,0

150,0

175,0

200,0

225,0

250,0

275,0

300,0

 

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

 

-33280

-78089

249550

127420

-443130

-106000

173270

-5685,1

-948,21

 

 

-21264

-14579

187530

37509

-388660

-178270

60971

-4863,9

-26,386

 

 

1,0902

0,56870

2,5080

-1,8556

-0,37212

0,86720

-2,8484

2,1726

0,37646

 

 

100,0

125,0

150,0

175,0

200,0

225,0

250,0

275,0

300,0

 

 

-25,0

-25,0

-25,0

-25,0

-25,0

-25,0

-25,0

-25,0

-25,0

 

-20194

-50281

100500

78854

-149390

-38575

73237

321,51

-3913,5

 

 

-10313

-18560

34093

37751

-29239

-10799

18715

235,36

-1908,3

 

 

6311,1

-23902

-63174

105600

52404

-86179

8602,5

-338,13

-88,553

 

 

Продолжение таблицы 3.3

 

x, м

y, м

sx , Па

sy , Па

txy , Па

 

100,0

125,0

150,0

175,0

200,0

225,0

250,0

275,0

300,0

 

 

-50,0

-50,0

-50,0

-50,0

-50,0

-50,0

-50,0

-50,0

-50,0

 

2939,1

-11449

-28526

9750,7

62648

15808

-13031

135,58

-2034,0

 

 

9597,3

-7933,1

-67955

-1566,8

141000

77278

-9372,9

-1078,6

-1244,3

 

 

11078

-9888,9

-9353,4

-15417

17318

21361

-15835

1724,3

-2697,4

 

 

По результатам счета построены графики прогибов в точках пластины, расположенных на оси x, для соответствующих моментов времени (рис. 3.3, где положение силы Р обозначено стрелкой).

На рис. 3.4 - 3.6 даны эпюры напряжений для момента, когда Р проходит узел 11. На рис. 3.7 приведены графики прогибов и максимальных напряжений в точках оси x при статическом приложении силы Р в узле 11 для сравнения с соответствующими динамическими значениями. Статические напряжения и прогибы были рассчитаны методом конечных элементов при той же дискретизации ледяной пластины и тех же значениях основных параметров (кроме скорости движения силы, которая в данном случае равна нулю), что и в задаче 1.

.

 

.

Рис. 3.3. Графики прогибов ледяной пластины (задача 1).

 

 

 

 

.

.

.

.

 

Рис. 3.7. Эпюры напряжений в точках оси x при статическом приложении силы Р в узле 11.

 

 

На рис. 3.8 представлен график поверхности пластины (учитывая симметрию задачи относительно оси x, только при y ³ 0) для момента времени, когда Р проходит узел 11.

.

Рис. 3.8. График поверхности пластины.

?

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074